同伦分析方法在非线性力学和数学生物学中的应用
摘要
1.研究内容、目的和意意义义
针对非线性问题,人们已经发展出了许多方法,如各种摄动法、Adomian分解法、δ展开法、Lyapunov人工小参数方法等等,并在许多问题上获得了巨大的成功。然而,这些方法也各有其缺点和不足,如对小参数的依赖性、级数解的收敛性无法保证、人工小参数难于选取等,这些极大地限制了上述方法的应用范围和有效性。为了克服这些困难和不足,廖世俊教授于1992年发展了一种新的非线性分析工具–同伦分析方法(Homotopy Analysis Method,HAM[15])。该方法不依赖于某个小参数,并且所获得的近似级数解的收敛性可以通过引入的辅助参数来控制和调节。同伦分析方法在解的基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有很大的灵活性。合理地选取这些要素,能够进一步增强解级数的收敛性,从而能够以较低的阶数获得解的高精度近似。同伦分析方法已经在许多非线性问题上获得了成功,如边界层传热传质、非相似边界层问题、非定常边界层问题、多解问题、非线性振动问题、非线性波动问题、波流相互作用问题、金融数学中的美式看跌期权问题等等,这些都表明了同伦分析方法处理非线性问题的有效性和巨大潜力。
但是同伦分析方法仍然有值得探索的余地。首先,尽管同伦分析方法提供了辅助参数来控制级数的收敛性,但是,对于某些强非线性问题,仍需要在较高的阶数下才能获得足够精确的近似。这对于希望以低阶近似就能把握事物本质的研究者来讲,显然是不可接受的。好在同伦分析方法解决收敛性问题不止上述一条途径。它还提供了其他的方法。许多研究者早就注意到,同伦分析方法在基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有灵活性。不同的选择,解的收敛性有时会有显著的不同。另外,通过对原方程引入新的变换,也可以改善解的收敛性。但是,关于这些改善收敛性的方法,并没有学者作出详细的比较研究和论述。因此本论文首先专注于同伦分析方法的收敛性,详细讨论新变换或不同的基函数、线性算子或初始解对解级数的收敛性的影响。目的是为强非线性问题的处理提供一些思路和途径,具有完善同伦分析方法的理论意义。
在应用层面,虽然同伦分析方法已经成功地求解了许多非线性问题,但是关于它的应用远不是全面的和充分的。自然界本质上是非线性的,各个领域中都普遍存在许多非线性现象。科学技术的发展也催生了许多新兴交叉学科,这些学科中也衍生出各种各样的非线性问题。这些都给同伦分析方法提供了广阔的应用空间,同时也给同伦分析方法的进一步发展提供了契机,使得该方法在解决各种具有挑战性的非线性问题的过程中不断获得发展和完善。本论文首次将同伦分析方法应用于数学生物学这一新兴交叉学科中的疾病传播模型和时间滞后问题。首次获得了几个著名模型的解析近似解,并为这一领域的类似问题提供了一种解析方法。
综上所述,本论文的工作是两方面的。首先,我们详细讨论了同伦级数解的收敛性与新的变换、基函数表达、线性算子以及初始解的关系。我们以非线性力学中的几个问题为例证明,对于强非线性问题,我们可以利用同伦分析方法的灵活性,通过引入新的变换或不同要素的选择来提高级数解的收敛性。另一方面,我们还将上述成果应用于非线性数学生物学中。这既是对同伦分析方法的完善,也为非线性数学生物学提供了一种解析方法,具有理论意义和应用价值。
2.论文的主要工作
2.1 Van der Pol方方程程
论文的第二章研究了如何在同伦分析方法的框架下通过引进新的变换来提高解的收敛性。我们以如下的Van der Pol方程为例满足如下的周期条件其中∈[0,∞)。该方程作为一个基本模型广泛应用于生物学、生物化学、力学和电子工程等领域。不同的学者对其进行了数值和解析解的求解工作。廖世俊教授曾经应用同伦分析方法求解过该方程[36]。本论文中我们引进新的变换,以提高级数解的收敛性。
引进如下变换其中ω为频率,γ为幅值,μ为[0,1]间的常数。与Liao[36]不同,上述变换中引入了新的参数γ和μ,其中γ未知。在该变换下,方程变为满足条件
应用同伦分析方法求解非线性问题时,首先要确定三个要素,即解的基函数表达、线性算子、初始解。考虑到周期边界条件,我们选取如下的基函数{cosmξ,sinmξ,m≥1},并且将方程的解表为其中a0,am和bm为系数。我们选取如下的初始解和辅助线性算子在确定了上述三要素之后,后续的求解过程大抵相似。我们在第二章中给出了详细的同伦分析求解过程,在此不赘述。我们将本文的计算结果与Liao[36]中的结果作比较。在文献[36]中,对于0 < < 3.75的取值范围,为了得到收敛的结果,| |的取值很小,为1/10(i.e. = ?1/10),但本文的工作显示,对于该区间, = ?1/7仍能得到收敛的结果。同时,所需的级数解的阶数也降低了。例如对于= 1的情况,可以在| |较大时,取20阶近似就能获得吻合很好的逼近。一般来讲,的收敛区域越大,说明解的收敛性越好。而对于非线性较强的问题,的收敛区间往往较小。注意到的值依赖于μ的值,我们给出如下的关系这里a为负实数。当|a|增大时,| |的值减小,从而的收敛区域扩大。
本文的结果表明,通过新的变换,可以增强级数解的收敛性。同时还给出了与μ(or )的关系,通过这一关系,我们可以方便地获得使得级数收敛的值。2.2 Rayleigh方方程程程和和和推推推广广广的的Van der Pol方方程程
如前所述,同伦分析方法的过程包括线性算子、基本解和初始猜测等三个要素的选取。当然,这些要素之间也有关联,并且有一定的自由度。对于同样的问题,不同的选择会有不同的收敛性。论文第三章通过两个例子,即Rayleigh方程和推广的Van der Pol方程,讨论了不同的线性算子对解的收敛性的影响。
我们考察了如下的推广的Van der Pol方程和Rayleigh方程其中m,n∈N, > 0。由于这两个方程的求解方法相似,本文只讨论Rayleigh方程的同伦分析解法,而对推广的Van der Pol方程的求解不再赘述。但是在结果分析部分,我们都作了讨论。下面简述Rayleigh方程的同伦求解过程。
引入如下的变换其中ω为频率,γ为振幅,λ为时间尺度参数,μ为[0,1)间的常数。该变换将方程变为并满足如下条件
选用如下的基函数则Rayleigh方程的解可表为这里am、bm均为系数。
线性算子为初始解为注意到,在上述线性算子中包含有κ,是一个正整数。改变κ,我们就得到不同的线性算子。同时,基函数里也包括κ,即意味着我们也可通过改变κ的值,来选取不同的基函数。
详细的计算过程见第三章。这里我们简单地对计算结果进行分析。针对Vander Pol方程,我们考察了m = 4,n = 1,μ= 1/2情形下κ对级数解收敛性的影响。图3.1示出了所谓曲线,可以看出,对应于κ= 3时的的收敛区间(?5 < < 0)要远远大于κ= 1时的收敛区间(?0.8 < < 0)。这说明κ= 3时的收敛性要好。图3.2和3.3分别给出了κ= 1和κ= 3时的原方程的误差曲线。显然,κ= 3时的误差要小的多,此时,低阶近似就有足够的精确性。
针对Rayleigh方程的分析,也可得出同样的结论。表3.1和表3.2对μ= 1/2的情形作了比较。可以看出,若取κ= 9,仅仅10阶近似就足够准确。同样的精度在κ= 1下需要20阶近似才能达到。表3.3和表3.4对μ= 2/3和3/4的情况也作了计算。可以看出,κ= 3时的结果和同伦-佩德(homotopy-Pade)加速收敛技术的结果极为接近,而κ= 1时的结果则较差。这些比较表明,线性算子(或基函数)的选择,对级数解的收敛性确实有很大的影响。在应用同伦分析方法时,我们应该尝试不同的选择,来获得解的较优近似。
2.3 Thomas-Fermi方程
同伦分析方法还给我们提供了初始解选取的自由性。通过不同的选择,我们也可以找到一个较好的初始解,使得级数解在较低的阶数下就能收敛。我们以Thomas-Fermi方程为例满足如下的边界条件
令u (0) =γ1,并引进变换其中λ,γ均为待定常数。该变换将方程变为边界条件变为
考虑到边界条件和u(x)的物理意义,我们选用如下的基函数将解表达为这里am为系数。辅助线性算子为对于本问题,我们取如下的初始解注意到上式中含有λ,γ两个参数,通过改变它们可以获得不同的级数解。这里,我们不是通过尝试一系列参数值,而是通过使原方程的误差取极小值的办法来获得最优的λ,γ值。
Liao[18, 19]以不同的初始解求解过Thomas-Fermi方程,Kobayashi也以数值方法求解了该问题。本论文将计算结果与他们的结果作了比较,如图4.1、表4.1和4.2所示。从图4.1可以看出,本文的结果u(x)与Liao的结果在x的很大范围内吻合,但u (0)的结果比Liao[18, 19]结果更加接近于Kobayashi的数值解(见表4.1,4.2)。这说明,解的收敛性也可在一定程度上通过选取不同的初始解来加以改善。
2.4 SIR和SIS传染病模型
第五、六章研究了生物学中的疾病传播的SIR和SIS模型。该模型是非线性方程的初值问题,由Kermack和McKendrick首次给出[58]。传染病学是生物学的一个分支,是研究疾病传播的一门科学。该领域的许多问题都可以微分方程模型来描述。据我们所知,最早的传染病数学模型由D. Bernoulli于1760年给出。但是仅仅从Kermack和McKendrick的开创性工作以来,数学传染病学才获得了快速发展。已经发展出了许多疾病传染的数学模型,其中最著名的即是SIR和SIS模型。
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。一般把传染病流行范围内的人群分成三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
大多数传染病如天花、流感、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),他们已经退出传染系统。假设总人数不变,人群分为健康者、病人和移出者三类,这种模型称为SIR模型。有些
2.5时滞Logistic模型
传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型称为SIS模型。
关于SIR模型和SIS模型,已有许多研究。许多学者运用各种工具,如稳定性分析、分叉理论、Lyapunov方法、Poincare和Bendixson定理、指标和拓扑概念等应用于生物学的研究中来,取得了丰硕的成果。但据我们所知,目前没有人给出过该模型的解析解(Singh[73])。
第五、六章的研究兴趣在于获得SIR和SIS模型的级数解析解上。应用同伦分析方法,我们成功地获得了SIR模型和SIS模型收敛的级数解。我们的结果与Singh的定性分析相吻合,也与数值计算结果相吻合。
经典的SIR模型由Kermack-Mckendrick给出如下[58]该方程满足如下的初始条件其中α> 0,r > 0,I0 > 0,S0 > 0。这里r为Lotka-Volterra相互作用项的感染系数,α为恢复系数。令仔细观查上述方程,我们可以看出I∞= 0,且有从上述公式,对于给定I0和S0,我们可以得到S∞。从SIR模型中我们还可以得到,因此,若rS0/α> 1, i(t)的值在最初的阶段呈增加的趋势,但由于s(t)是一个递减函数,从而一段时间后,i(t)的值也将递减。
SIS模型由如下方程描述[58]满足初始条件,其中r > 0, I0 > 0且S0 > 0。同样S + I = k,这里k总人口数量。SIS模型于SIR模型的不同在于移出者又以iγ的速率返回到易感者中来,这里γ为恢复系数。
分析SIS模型,我们可得到如下的定性结论:如果rk/γ< 1则有反之,如果rk/γ> 1,则有这意味着若rk/γ< 1,感染者将消失;若rk/γ> 1,感染将持续。传染病学主要感兴趣后一种情形。
详细的求解过程见第五、六两章。这里我们仅指出,所选用的线性算子包含有参数β,通过改变它的值,可以提高级数解的收敛性。文中是通过使剩余误差减小最快的方式来确定最优的β值。
我们给出了不同参数取值情况下的计算算例。结果表明,本文的计算结果与定性分析结论符合,且与数值计算结果吻合很好。特别值得指出的是,我们以一个实际发生过的病例数据来检验我们的分析结果,发现我们的结果也可以很好地模拟实际病例的发展演化过程。因此,我们不仅首次给出了SIR、SIS方程的解析近似解,而且也为生物数学中的传染病学提供了实际分析预测应用工具。
非线性时滞微分方程出现在许多领域。当一个系统的演化不仅依赖于当前的状态,而且还依赖于过去的历史,这时描述系统的方程将会出现时滞项。时滞微分方程的研究较非时滞问题更加复杂。人口动力学、流行病学、生理学、免疫学、神经网络、经济学,乃至飞机、船舶或海洋平台等的操纵控制等领域经常能碰到时间滞后问题。比如,近年来在海洋工程中,利用主动控制来减轻平台在环境荷载作用下的振动显得日趋重要[70]。然而在实施实时控制时,由于数据处理、在线计算和控制力施加都需要时间,因此在主动控制实施的过程中总是存在着不同程度的时滞。时滞使得被调量不能及时反应控制信号的动作,当受控对象受到干扰而引起被调量改变时,控制器产生的控制作用不能立即对干扰产生抑制作用。控制力的不同步实施,不仅降低控制系统的减振性能,而且有时会使动力系统变得不稳定。再如,在疾病演化动力学中,当前病毒数量水平就依赖于过去一段时间的状态。在这类问题中,通常的微分方程就会失效,而必须应用时滞微分方程来描。在生态学的研究中,考察生物种群数量的发展已经成为一个重要的课题,而在种群发展的系统中时滞的影响是常常存在的。
上世纪80年代,学者们就已经提出了几个时滞问题模型,如Bushenber-Coke模型[72] (1980)、Hethcote模型[60](1981)。Lenoid[74]对于人口动力学建立了几个振荡和非振荡条件。据我们所知,目前处理时滞微分方程主要依赖于数值方法。应用解析方法研究的很少(Brauer[77])。Baker[75]等详细讨论了为什么在某些情况下DDE比ODE更重要,并给出了一些处理DDE问题的数值方法。
本论文研究了同伦分析方法在时间滞后问题上的应用。所研究的问题为时滞Logistic模型满足如下的初始条件这里r和κ为非负的已知数,τ为延迟时间。
我们首次给出了该模型的解析近似解,并详细讨论了时间延迟τ对i∞的影响。给出了临界的时间延迟τ?的范围。并指出,若τ<τ?,则i∞→κ,若τ>τ?,则i∞→0。一般来讲,时间滞后方程的解是分段光滑的函数,为了克服符号计算方法处理这类函数的困难,我们定义了函数δ?(t)(式7.2.23),这样我们就能应用同伦分析方法获得高阶近似,为DDE方程的求解提供了一条新的途径。
3.论文的创新点
·本论文首次全面地、详细地讨论了新的变换、解表达、线性算子以及初始解对级数解的收敛性的影响,指出在求解某些强非线性问题时,我们可以利用同伦分析方法的灵活性,作出某些较优的选择,以改善解的收敛性,使得低阶近似就有足够的精确度。我们以非线性力学中的几个著名问题论证了我们的论点。
·我们首次将同伦分析方法应用于数学生物学中的传染病模型的研究,首次获得了SIR、SIS模型的解析近似解。由于以往的研究主要依赖于数值解,本文的工作则在解析方法上为这类问题提供了新的途径。通过与数值解或其他研究者的结果相比,证明了本文方法的正确性。特别指出的是,本文中给出的SIR模型的解析解可以很好地模拟实际发生过的传染病例,因此本文的方法也给传染病的预测与防治提供了实际应用工具。
·我们首次将同伦分析方法应用于时间滞后问题上,给出了时滞Logistic模型的解析近似解。我们讨论了时间滞后对系统的影响,给出了影响系统最终状态的临界滞后时间的取值范围。另外通过定义δ?函数,为在符号运算软件上应用同伦分析方法获得DDE方程的高阶近似提供了新的解决方案。由于时滞现象广泛存在于船舶、海洋结构物操纵和控制等领域,因此,我们期望本论文给出的方法将会在这些领域获得更多的应用。
An intensive study on both the theory and the application of Homotopy AnalysisMethod (HAM) is carried out and results of di?erent nonlinear problems are discussedand summarized in this thesis. A lot of literature on the application of HAM havealready been published, still there is room for researchers to find some way to improveHAM or extend its applications.
In our study, we focus on two sides. One is the method itself and the other is itsapplication in nonlinear mechanics and mathematical biology. Selecting few problemsfrom nonlinear mechanics and mathematical biology, we test the applicability and?exibility of HAM. This thesis consists of eight chapters. Each chapter is completelyself-contained with its own depth introduction, literature review, methodology, resultanalysis, and conclusion.
Firstly, Van der Pol’s equation is handled with the help of HAM and some trans-formations are used to improve the convergence of the series solution. We compareour results with that given by Liao [36], also with homotopy-Pad′e approximations.With the help of this simple transformation we have improved the convergence regionfor as compared to the previous work done by the same technique.
Secondly, ?exibility and freedom of HAM is being observed with the help oftwo strongly nonlinear problems such as generalized Van der Pol’s equation and theRayleigh’s equation. We introduce a special kind of linear operator and base functionwith the help of a parameterκthat serves for improving the convergence of the solu-tion. We have observed that convergence of the results can be improved by increasingκ. Only HAM provides such freedom that one can try di?erent linear operator and base function to get better convergent solutions.
Thirdly, HAM is applied to Thomas-Fermi equation with new initial guess. Betterresults are obtained as compare to the earlier work done by the same technique. Herewe use one of the advantages of HAM, that is: freedom of the choice of initial guess.In this problem the base function is same as used by Liao [18, 19] but initial guess isdi?erent. We have observed the improvement in the convergence of the result.
Fourthly HAM is applied on SIR epidemic model. This model is related to epi-demiology which is a branch of biology that deals with infectious diseases. Themodel is defined with a set of two nonlinear di?erential equations. This model hasbeen shown to predict the behavior of many disease. To the best of our knowledge,it is the first time that analytical results are obtained for these models. We havecompared our results with numerical results and also with the qualitative analysismade by Singh [73].
Fifthly HAM is applied on SIS model. This model is more e?ective for diseasescaused by bacteria or helminth agents and also for most sexually transmitted dis-ease. This model is defined by coupled nonlinear di?erential equations with initialconditions. For this model, also we have obtained analytical results for the first time.We have compared our results with numerical results and also with the qualitativeanalysis made by Singh [73].
Lastly we investigate the nonlinear delay di?erential equation (DDE) with the helpof HAM, for the first time. To find analytic result for time-delay models, assumed tobe very di?cult. Such models are di?erent from ODEs as these models arises whenthe evolution of a system not only depends on its present state but also on its history.The study of these delay di?erential equations become more complicated when it isnonlinear. Currently, in various fields such as the navigational control of ships andair crafts, electrodynamics, engineering, epidemiology, etc, have shown that delay dif-ferential equations play an important role in explaining many di?erent phenomenon.For example, a time delay compensation algorithm for o?shore platforms is developed by Li [70] based on the prediction of wave force and structural response , the opti-mal prediction of active control force is used to perform time delay compensation,similarly, in epidemiology time-delay appears in many disease such as malaria. Weobserved that time-delay indeed has a great in?uence on the property of the nonlineardynamic system. For this model there exist a certain time-delay parameterτwhichhas in?uence on the convergence of the solution at infinity. Here we have successfullyachieved convergent result with HAM. Our results agree well with that of numericalanalysis. This example illustrates that the analytic approach based on the HAM isalso valid for nonlinear time-delay di?erential equations.
针对非线性问题,人们已经发展出了许多方法,如各种摄动法、Adomian分解法、δ展开法、Lyapunov人工小参数方法等等,并在许多问题上获得了巨大的成功。然而,这些方法也各有其缺点和不足,如对小参数的依赖性、级数解的收敛性无法保证、人工小参数难于选取等,这些极大地限制了上述方法的应用范围和有效性。为了克服这些困难和不足,廖世俊教授于1992年发展了一种新的非线性分析工具–同伦分析方法(Homotopy Analysis Method,HAM[15])。该方法不依赖于某个小参数,并且所获得的近似级数解的收敛性可以通过引入的辅助参数来控制和调节。同伦分析方法在解的基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有很大的灵活性。合理地选取这些要素,能够进一步增强解级数的收敛性,从而能够以较低的阶数获得解的高精度近似。同伦分析方法已经在许多非线性问题上获得了成功,如边界层传热传质、非相似边界层问题、非定常边界层问题、多解问题、非线性振动问题、非线性波动问题、波流相互作用问题、金融数学中的美式看跌期权问题等等,这些都表明了同伦分析方法处理非线性问题的有效性和巨大潜力。
但是同伦分析方法仍然有值得探索的余地。首先,尽管同伦分析方法提供了辅助参数来控制级数的收敛性,但是,对于某些强非线性问题,仍需要在较高的阶数下才能获得足够精确的近似。这对于希望以低阶近似就能把握事物本质的研究者来讲,显然是不可接受的。好在同伦分析方法解决收敛性问题不止上述一条途径。它还提供了其他的方法。许多研究者早就注意到,同伦分析方法在基函数表达、线性算子和初始解的选取上具有灵活性。不同的选择,解的收敛性有时会有显著的不同。另外,通过对原方程引入新的变换,也可以改善解的收敛性。但是,关于这些改善收敛性的方法,并没有学者作出详细的比较研究和论述。因此本论文首先专注于同伦分析方法的收敛性,详细讨论新变换或不同的基函数、线性算子或初始解对解级数的收敛性的影响。目的是为强非线性问题的处理提供一些思路和途径,具有完善同伦分析方法的理论意义。
在应用层面,虽然同伦分析方法已经成功地求解了许多非线性问题,但是关于它的应用远不是全面的和充分的。自然界本质上是非线性的,各个领域中都普遍存在许多非线性现象。科学技术的发展也催生了许多新兴交叉学科,这些学科中也衍生出各种各样的非线性问题。这些都给同伦分析方法提供了广阔的应用空间,同时也给同伦分析方法的进一步发展提供了契机,使得该方法在解决各种具有挑战性的非线性问题的过程中不断获得发展和完善。本论文首次将同伦分析方法应用于数学生物学这一新兴交叉学科中的疾病传播模型和时间滞后问题。首次获得了几个著名模型的解析近似解,并为这一领域的类似问题提供了一种解析方法。
综上所述,本论文的工作是两方面的。首先,我们详细讨论了同伦级数解的收敛性与新的变换、基函数表达、线性算子以及初始解的关系。我们以非线性力学中的几个问题为例证明,对于强非线性问题,我们可以利用同伦分析方法的灵活性,通过引入新的变换或不同要素的选择来提高级数解的收敛性。另一方面,我们还将上述成果应用于非线性数学生物学中。这既是对同伦分析方法的完善,也为非线性数学生物学提供了一种解析方法,具有理论意义和应用价值。
2.论文的主要工作
2.1 Van der Pol方方程程
论文的第二章研究了如何在同伦分析方法的框架下通过引进新的变换来提高解的收敛性。我们以如下的Van der Pol方程为例满足如下的周期条件其中∈[0,∞)。该方程作为一个基本模型广泛应用于生物学、生物化学、力学和电子工程等领域。不同的学者对其进行了数值和解析解的求解工作。廖世俊教授曾经应用同伦分析方法求解过该方程[36]。本论文中我们引进新的变换,以提高级数解的收敛性。
引进如下变换其中ω为频率,γ为幅值,μ为[0,1]间的常数。与Liao[36]不同,上述变换中引入了新的参数γ和μ,其中γ未知。在该变换下,方程变为满足条件
应用同伦分析方法求解非线性问题时,首先要确定三个要素,即解的基函数表达、线性算子、初始解。考虑到周期边界条件,我们选取如下的基函数{cosmξ,sinmξ,m≥1},并且将方程的解表为其中a0,am和bm为系数。我们选取如下的初始解和辅助线性算子在确定了上述三要素之后,后续的求解过程大抵相似。我们在第二章中给出了详细的同伦分析求解过程,在此不赘述。我们将本文的计算结果与Liao[36]中的结果作比较。在文献[36]中,对于0 < < 3.75的取值范围,为了得到收敛的结果,| |的取值很小,为1/10(i.e. = ?1/10),但本文的工作显示,对于该区间, = ?1/7仍能得到收敛的结果。同时,所需的级数解的阶数也降低了。例如对于= 1的情况,可以在| |较大时,取20阶近似就能获得吻合很好的逼近。一般来讲,的收敛区域越大,说明解的收敛性越好。而对于非线性较强的问题,的收敛区间往往较小。注意到的值依赖于μ的值,我们给出如下的关系这里a为负实数。当|a|增大时,| |的值减小,从而的收敛区域扩大。
本文的结果表明,通过新的变换,可以增强级数解的收敛性。同时还给出了与μ(or )的关系,通过这一关系,我们可以方便地获得使得级数收敛的值。2.2 Rayleigh方方程程程和和和推推推广广广的的Van der Pol方方程程
如前所述,同伦分析方法的过程包括线性算子、基本解和初始猜测等三个要素的选取。当然,这些要素之间也有关联,并且有一定的自由度。对于同样的问题,不同的选择会有不同的收敛性。论文第三章通过两个例子,即Rayleigh方程和推广的Van der Pol方程,讨论了不同的线性算子对解的收敛性的影响。
我们考察了如下的推广的Van der Pol方程和Rayleigh方程其中m,n∈N, > 0。由于这两个方程的求解方法相似,本文只讨论Rayleigh方程的同伦分析解法,而对推广的Van der Pol方程的求解不再赘述。但是在结果分析部分,我们都作了讨论。下面简述Rayleigh方程的同伦求解过程。
引入如下的变换其中ω为频率,γ为振幅,λ为时间尺度参数,μ为[0,1)间的常数。该变换将方程变为并满足如下条件
选用如下的基函数则Rayleigh方程的解可表为这里am、bm均为系数。
线性算子为初始解为注意到,在上述线性算子中包含有κ,是一个正整数。改变κ,我们就得到不同的线性算子。同时,基函数里也包括κ,即意味着我们也可通过改变κ的值,来选取不同的基函数。
详细的计算过程见第三章。这里我们简单地对计算结果进行分析。针对Vander Pol方程,我们考察了m = 4,n = 1,μ= 1/2情形下κ对级数解收敛性的影响。图3.1示出了所谓曲线,可以看出,对应于κ= 3时的的收敛区间(?5 < < 0)要远远大于κ= 1时的收敛区间(?0.8 < < 0)。这说明κ= 3时的收敛性要好。图3.2和3.3分别给出了κ= 1和κ= 3时的原方程的误差曲线。显然,κ= 3时的误差要小的多,此时,低阶近似就有足够的精确性。
针对Rayleigh方程的分析,也可得出同样的结论。表3.1和表3.2对μ= 1/2的情形作了比较。可以看出,若取κ= 9,仅仅10阶近似就足够准确。同样的精度在κ= 1下需要20阶近似才能达到。表3.3和表3.4对μ= 2/3和3/4的情况也作了计算。可以看出,κ= 3时的结果和同伦-佩德(homotopy-Pade)加速收敛技术的结果极为接近,而κ= 1时的结果则较差。这些比较表明,线性算子(或基函数)的选择,对级数解的收敛性确实有很大的影响。在应用同伦分析方法时,我们应该尝试不同的选择,来获得解的较优近似。
2.3 Thomas-Fermi方程
同伦分析方法还给我们提供了初始解选取的自由性。通过不同的选择,我们也可以找到一个较好的初始解,使得级数解在较低的阶数下就能收敛。我们以Thomas-Fermi方程为例满足如下的边界条件
令u (0) =γ1,并引进变换其中λ,γ均为待定常数。该变换将方程变为边界条件变为
考虑到边界条件和u(x)的物理意义,我们选用如下的基函数将解表达为这里am为系数。辅助线性算子为对于本问题,我们取如下的初始解注意到上式中含有λ,γ两个参数,通过改变它们可以获得不同的级数解。这里,我们不是通过尝试一系列参数值,而是通过使原方程的误差取极小值的办法来获得最优的λ,γ值。
Liao[18, 19]以不同的初始解求解过Thomas-Fermi方程,Kobayashi也以数值方法求解了该问题。本论文将计算结果与他们的结果作了比较,如图4.1、表4.1和4.2所示。从图4.1可以看出,本文的结果u(x)与Liao的结果在x的很大范围内吻合,但u (0)的结果比Liao[18, 19]结果更加接近于Kobayashi的数值解(见表4.1,4.2)。这说明,解的收敛性也可在一定程度上通过选取不同的初始解来加以改善。
2.4 SIR和SIS传染病模型
第五、六章研究了生物学中的疾病传播的SIR和SIS模型。该模型是非线性方程的初值问题,由Kermack和McKendrick首次给出[58]。传染病学是生物学的一个分支,是研究疾病传播的一门科学。该领域的许多问题都可以微分方程模型来描述。据我们所知,最早的传染病数学模型由D. Bernoulli于1760年给出。但是仅仅从Kermack和McKendrick的开创性工作以来,数学传染病学才获得了快速发展。已经发展出了许多疾病传染的数学模型,其中最著名的即是SIR和SIS模型。
医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病暴发或流行,危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。一般把传染病流行范围内的人群分成三类:S类,易感者(Susceptible),指未得病者,但缺乏免疫能力,与感染者接触后容易受到感染;I类,感病者(Infective),指染上传染病的人,它可以传播给S类成员;R类,移出者(Removal),指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
大多数传染病如天花、流感、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),他们已经退出传染系统。假设总人数不变,人群分为健康者、病人和移出者三类,这种模型称为SIR模型。有些
2.5时滞Logistic模型
传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型称为SIS模型。
关于SIR模型和SIS模型,已有许多研究。许多学者运用各种工具,如稳定性分析、分叉理论、Lyapunov方法、Poincare和Bendixson定理、指标和拓扑概念等应用于生物学的研究中来,取得了丰硕的成果。但据我们所知,目前没有人给出过该模型的解析解(Singh[73])。
第五、六章的研究兴趣在于获得SIR和SIS模型的级数解析解上。应用同伦分析方法,我们成功地获得了SIR模型和SIS模型收敛的级数解。我们的结果与Singh的定性分析相吻合,也与数值计算结果相吻合。
经典的SIR模型由Kermack-Mckendrick给出如下[58]该方程满足如下的初始条件其中α> 0,r > 0,I0 > 0,S0 > 0。这里r为Lotka-Volterra相互作用项的感染系数,α为恢复系数。令仔细观查上述方程,我们可以看出I∞= 0,且有从上述公式,对于给定I0和S0,我们可以得到S∞。从SIR模型中我们还可以得到,因此,若rS0/α> 1, i(t)的值在最初的阶段呈增加的趋势,但由于s(t)是一个递减函数,从而一段时间后,i(t)的值也将递减。
SIS模型由如下方程描述[58]满足初始条件,其中r > 0, I0 > 0且S0 > 0。同样S + I = k,这里k总人口数量。SIS模型于SIR模型的不同在于移出者又以iγ的速率返回到易感者中来,这里γ为恢复系数。
分析SIS模型,我们可得到如下的定性结论:如果rk/γ< 1则有反之,如果rk/γ> 1,则有这意味着若rk/γ< 1,感染者将消失;若rk/γ> 1,感染将持续。传染病学主要感兴趣后一种情形。
详细的求解过程见第五、六两章。这里我们仅指出,所选用的线性算子包含有参数β,通过改变它的值,可以提高级数解的收敛性。文中是通过使剩余误差减小最快的方式来确定最优的β值。
我们给出了不同参数取值情况下的计算算例。结果表明,本文的计算结果与定性分析结论符合,且与数值计算结果吻合很好。特别值得指出的是,我们以一个实际发生过的病例数据来检验我们的分析结果,发现我们的结果也可以很好地模拟实际病例的发展演化过程。因此,我们不仅首次给出了SIR、SIS方程的解析近似解,而且也为生物数学中的传染病学提供了实际分析预测应用工具。
非线性时滞微分方程出现在许多领域。当一个系统的演化不仅依赖于当前的状态,而且还依赖于过去的历史,这时描述系统的方程将会出现时滞项。时滞微分方程的研究较非时滞问题更加复杂。人口动力学、流行病学、生理学、免疫学、神经网络、经济学,乃至飞机、船舶或海洋平台等的操纵控制等领域经常能碰到时间滞后问题。比如,近年来在海洋工程中,利用主动控制来减轻平台在环境荷载作用下的振动显得日趋重要[70]。然而在实施实时控制时,由于数据处理、在线计算和控制力施加都需要时间,因此在主动控制实施的过程中总是存在着不同程度的时滞。时滞使得被调量不能及时反应控制信号的动作,当受控对象受到干扰而引起被调量改变时,控制器产生的控制作用不能立即对干扰产生抑制作用。控制力的不同步实施,不仅降低控制系统的减振性能,而且有时会使动力系统变得不稳定。再如,在疾病演化动力学中,当前病毒数量水平就依赖于过去一段时间的状态。在这类问题中,通常的微分方程就会失效,而必须应用时滞微分方程来描。在生态学的研究中,考察生物种群数量的发展已经成为一个重要的课题,而在种群发展的系统中时滞的影响是常常存在的。
上世纪80年代,学者们就已经提出了几个时滞问题模型,如Bushenber-Coke模型[72] (1980)、Hethcote模型[60](1981)。Lenoid[74]对于人口动力学建立了几个振荡和非振荡条件。据我们所知,目前处理时滞微分方程主要依赖于数值方法。应用解析方法研究的很少(Brauer[77])。Baker[75]等详细讨论了为什么在某些情况下DDE比ODE更重要,并给出了一些处理DDE问题的数值方法。
本论文研究了同伦分析方法在时间滞后问题上的应用。所研究的问题为时滞Logistic模型满足如下的初始条件这里r和κ为非负的已知数,τ为延迟时间。
我们首次给出了该模型的解析近似解,并详细讨论了时间延迟τ对i∞的影响。给出了临界的时间延迟τ?的范围。并指出,若τ<τ?,则i∞→κ,若τ>τ?,则i∞→0。一般来讲,时间滞后方程的解是分段光滑的函数,为了克服符号计算方法处理这类函数的困难,我们定义了函数δ?(t)(式7.2.23),这样我们就能应用同伦分析方法获得高阶近似,为DDE方程的求解提供了一条新的途径。
3.论文的创新点
·本论文首次全面地、详细地讨论了新的变换、解表达、线性算子以及初始解对级数解的收敛性的影响,指出在求解某些强非线性问题时,我们可以利用同伦分析方法的灵活性,作出某些较优的选择,以改善解的收敛性,使得低阶近似就有足够的精确度。我们以非线性力学中的几个著名问题论证了我们的论点。
·我们首次将同伦分析方法应用于数学生物学中的传染病模型的研究,首次获得了SIR、SIS模型的解析近似解。由于以往的研究主要依赖于数值解,本文的工作则在解析方法上为这类问题提供了新的途径。通过与数值解或其他研究者的结果相比,证明了本文方法的正确性。特别指出的是,本文中给出的SIR模型的解析解可以很好地模拟实际发生过的传染病例,因此本文的方法也给传染病的预测与防治提供了实际应用工具。
·我们首次将同伦分析方法应用于时间滞后问题上,给出了时滞Logistic模型的解析近似解。我们讨论了时间滞后对系统的影响,给出了影响系统最终状态的临界滞后时间的取值范围。另外通过定义δ?函数,为在符号运算软件上应用同伦分析方法获得DDE方程的高阶近似提供了新的解决方案。由于时滞现象广泛存在于船舶、海洋结构物操纵和控制等领域,因此,我们期望本论文给出的方法将会在这些领域获得更多的应用。
An intensive study on both the theory and the application of Homotopy AnalysisMethod (HAM) is carried out and results of di?erent nonlinear problems are discussedand summarized in this thesis. A lot of literature on the application of HAM havealready been published, still there is room for researchers to find some way to improveHAM or extend its applications.
In our study, we focus on two sides. One is the method itself and the other is itsapplication in nonlinear mechanics and mathematical biology. Selecting few problemsfrom nonlinear mechanics and mathematical biology, we test the applicability and?exibility of HAM. This thesis consists of eight chapters. Each chapter is completelyself-contained with its own depth introduction, literature review, methodology, resultanalysis, and conclusion.
Firstly, Van der Pol’s equation is handled with the help of HAM and some trans-formations are used to improve the convergence of the series solution. We compareour results with that given by Liao [36], also with homotopy-Pad′e approximations.With the help of this simple transformation we have improved the convergence regionfor as compared to the previous work done by the same technique.
Secondly, ?exibility and freedom of HAM is being observed with the help oftwo strongly nonlinear problems such as generalized Van der Pol’s equation and theRayleigh’s equation. We introduce a special kind of linear operator and base functionwith the help of a parameterκthat serves for improving the convergence of the solu-tion. We have observed that convergence of the results can be improved by increasingκ. Only HAM provides such freedom that one can try di?erent linear operator and base function to get better convergent solutions.
Thirdly, HAM is applied to Thomas-Fermi equation with new initial guess. Betterresults are obtained as compare to the earlier work done by the same technique. Herewe use one of the advantages of HAM, that is: freedom of the choice of initial guess.In this problem the base function is same as used by Liao [18, 19] but initial guess isdi?erent. We have observed the improvement in the convergence of the result.
Fourthly HAM is applied on SIR epidemic model. This model is related to epi-demiology which is a branch of biology that deals with infectious diseases. Themodel is defined with a set of two nonlinear di?erential equations. This model hasbeen shown to predict the behavior of many disease. To the best of our knowledge,it is the first time that analytical results are obtained for these models. We havecompared our results with numerical results and also with the qualitative analysismade by Singh [73].
Fifthly HAM is applied on SIS model. This model is more e?ective for diseasescaused by bacteria or helminth agents and also for most sexually transmitted dis-ease. This model is defined by coupled nonlinear di?erential equations with initialconditions. For this model, also we have obtained analytical results for the first time.We have compared our results with numerical results and also with the qualitativeanalysis made by Singh [73].
Lastly we investigate the nonlinear delay di?erential equation (DDE) with the helpof HAM, for the first time. To find analytic result for time-delay models, assumed tobe very di?cult. Such models are di?erent from ODEs as these models arises whenthe evolution of a system not only depends on its present state but also on its history.The study of these delay di?erential equations become more complicated when it isnonlinear. Currently, in various fields such as the navigational control of ships andair crafts, electrodynamics, engineering, epidemiology, etc, have shown that delay dif-ferential equations play an important role in explaining many di?erent phenomenon.For example, a time delay compensation algorithm for o?shore platforms is developed by Li [70] based on the prediction of wave force and structural response , the opti-mal prediction of active control force is used to perform time delay compensation,similarly, in epidemiology time-delay appears in many disease such as malaria. Weobserved that time-delay indeed has a great in?uence on the property of the nonlineardynamic system. For this model there exist a certain time-delay parameterτwhichhas in?uence on the convergence of the solution at infinity. Here we have successfullyachieved convergent result with HAM. Our results agree well with that of numericalanalysis. This example illustrates that the analytic approach based on the HAM isalso valid for nonlinear time-delay di?erential equations.
引文
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