基于创新思维培养的中学数学教育研究
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摘要
我国的中学数学教育向来令人关注。一方面是我国传统的数学教育有很多可贵的地方,学生的基础扎实、计算准确、思维严谨得到了国际数学教育界的普遍认可,在中学生国际数学奥林匹克竞赛中出风头的往往是中国学生；但另一方面,在世界范围内的高新科技领域很少听到来自中国的声音,特别是反映一个国家的创新能力和科技实力的诺贝尔奖以及反映数学研究水平的菲尔兹奖在中国本土还无人获得,这种现象必然引起中国数学教育界的认真总结和反思。本文尝试从数学教育与创新思维的关系分析入手,探讨中学数学教育中创新思维培养的缺失问题,对数学教育中学生创新思维培养有重要影响的数学课程、数学教学及数学教育评价进行了研究,全文分三个部分,共五章。
第一部分(第一章)主要对数学和数学教育与创新思维发展的一般关系进行了阐述。数学从它的诞生之日起就与思维结下了不解之缘,数学的存在和发展都要依靠思维；数学又是思维的工具,敏锐的思维能力和科学的思维方式常常要借助数学显示其美感和力量。数学教育是培养学生思维能力的重要途径,具有抽象性、简约性、形式化、逻辑性和优美性的特征,其意义在于生成思想、涵养文化、孕育创造；数学教育为创新思维的培养奠定了良好的基础,创新思维的培养又促进了数学和数学教育的发展。
第二部分(第二章)在调查研究的基础上对中学数学教育中创新思维培养的缺失问题进行了分析。在国际数学教育领域,中国学生的数学教育测试(IAEP, TIMSS, PISA)成绩十分优异,但是中国学生的数学学习给人的深刻印象是重记忆、善模仿、多练习、会考试,缺乏创新思维能力,这就出现了所谓的数学学习的“中国学习者悖论”。表现在数学教育思想上认识模糊,数学教育的价值迷失,认为数学教育是数学解题的训练,是一种形式化的学习,是一种分数上的竞争优势；在具体的数学教育教学过程中强调数学知识要点的传授,不重视数学知识的形成和探究过程,忽视学生数学情感的培养。数学课程的选择性匮乏、数学课堂主体性的丧失和数学教育功利性的评价是导致了创新思维缺失的直接原因。
第三部分(第三、四、五章)基于学生的创新思维培养分别从数学课程、数学教学和数学教育评价等方面对中学数学教育的改革问题进行了论述。数学课程作为学生学习数学的重要载体,对学生数学知识的积累和创新思维的发展起到奠基的作用。数学课程具有基础性、过程性、发展性和创新性等功能,在数学教育中要充分挖掘这些功能,并对数学课程资源进行开发和整合。数学课程具有极大的开放性和选择性,应从数学课程内容的选择、数学课程顺序的安排和数学知识的呈现方式三个方面去合理设计。发现、提出、分析和解决数学问题能力是学生学习数学的核心能力,对学生创新思维的培养具有重要的意义,因而数学教学应具有创生性和过程性,培养学生的数学问题意识。数学教学离不开数学教师,教师要关注学生的数学思考,促进数学理解和鼓励学生的求异思维。基于创新思维培养的数学教育评价在理念上要注意培养学生的数学情感,培育学生的数学能力,涵养学生的数学智慧；评价方式应具有多元性、多样性和人文性；数学教育的基本价值追求就是要促进学生的创新思维发展。
In the field of mathematics education (EduMath), Chinese EduMath has attracted the world's attention. On one hand, our traditional mathematics education has a lot of valuable aspects which are accepted by the international EduMath, such as focusing on the solid foundation of mathematics, accurate calculation and precise thinking. What's more, in the International Mathematical Olympic Competition of secondary school students, Chinese students often steal the show. However, on the other hand, the voices from China are very weak in the world-wide high-new technology areas. Particularly, no Chinese native person who has ever won the award of Nobel Prize and Fields Medal, which reflect the technological and innovative strength of a country as well as the mathematical level. We should seriously summarize and introspect our EduMath. So, the study of the paper tries to start with the relationship between EduMath and creative thinking to analyze the lack of cultivation of creative thinking in EduMath in the middle school. At last, the study researches the mathematics curriculum, mathematics teaching and the evaluation of EduMath, which are very important factors of cultivating students'creative thinking in mathematics education. This study consists of three parts, which are divided into five chapters.
The first part (Chapter Ⅰ) mainly discusses the general relationship of mathematics, EduMath and the development of innovative thinking. Because the mathematical thought are closely related each other from the day of its birth, the existence and development of the math are likely to be the dependent of thought; Mathematics is also one tool of thought, the keen power of thought and the thinking way often obtain support from mathematics to prove its esthetic sense and strength. Mathematics is a very important way to cultivate the thinking ability of the students. Mathematics education is abstract, simple, formal, logical, and beautiful; the significance of EduMath is to generate ideas, cultivate culture and inspire creation. On one hand, mathematics education has laid a good foundation for the cultivation of creative thinking; on the other hand, the cultivation of innovative thinking has promoted the development of mathematics and EduMath.
The second part (Chapter Ⅱ) analyses the lack of creative thinking in current EduMath in the middle school, based on the investigation and research. In the field of international EduMath, Chinese students will get high scores in tests (IAEP, TIMSS, PISA); The Chinese students seem to be memory, imitation, practices, and examinations in their math learning, which is so-called "the Chinese learner paradox". The value of EduMath is lost, and we believe that EduMath is a problem-solving training, which is a form and a competitive advantage; in practical teaching in mathematics, the knowledge points are all aspects of the EduMath, and it is the lack of process and does not pay attention to the cultivation of emotion. Due to the lack of selectivity of mathematics curriculum, the loss of subjects in math classroom and the utilitarian evaluation led to a lack of innovative thinking.
The third part (chapters III, IV, and chapter V) give the comments on the necessity of the mathematics curriculum, mathematics teaching and evaluation of EduMath respectively in the middle school, which are all designed to develop students'creative thinking. As important carriers of mathematics learning, mathematics curriculum plays a basic role in students'mathematical knowledge accumulation and the development of creative thinking. Any mathematics curriculum which students contact has enormous influences to their lifelong developments. The mathematics curriculum has features of basic, process, development and innovation. We are supposed to explore these characteristics, and mathematics curriculum resources should be excavated and integrated. Mathematics curriculum, with great openness and selectivity, should be organized properly with course contents, course sequences and curriculum presents and so on. The core ability of mathematics learning is to discover, submit, analyze and solve the mathematical questions, it is meaningful to the cultivation of students'innovative thinking, and thus the mathematics should be creational and processable, cultivate the students'questioning consciousness. Mathematics education can not be separated from mathematics teachers, who should better pay attention to students'thinking, promote mathematical understanding and encourage the thoughts of different seeking. Based on the cultivation of innovative thinking, the evaluation of EduMath should make the students achieve good emotion of mathematics, promote good self-learning ability and raise mathematics wisdom with the help of the teachers. In addition, in the way of evaluation methods, the diversity, the multiplicity and the humanity should be also taken into consideration; the value pursuing of mathematics education is to promote the development of students'creative thinking.
第一部分(第一章)主要对数学和数学教育与创新思维发展的一般关系进行了阐述。数学从它的诞生之日起就与思维结下了不解之缘,数学的存在和发展都要依靠思维；数学又是思维的工具,敏锐的思维能力和科学的思维方式常常要借助数学显示其美感和力量。数学教育是培养学生思维能力的重要途径,具有抽象性、简约性、形式化、逻辑性和优美性的特征,其意义在于生成思想、涵养文化、孕育创造；数学教育为创新思维的培养奠定了良好的基础,创新思维的培养又促进了数学和数学教育的发展。
第二部分(第二章)在调查研究的基础上对中学数学教育中创新思维培养的缺失问题进行了分析。在国际数学教育领域,中国学生的数学教育测试(IAEP, TIMSS, PISA)成绩十分优异,但是中国学生的数学学习给人的深刻印象是重记忆、善模仿、多练习、会考试,缺乏创新思维能力,这就出现了所谓的数学学习的“中国学习者悖论”。表现在数学教育思想上认识模糊,数学教育的价值迷失,认为数学教育是数学解题的训练,是一种形式化的学习,是一种分数上的竞争优势；在具体的数学教育教学过程中强调数学知识要点的传授,不重视数学知识的形成和探究过程,忽视学生数学情感的培养。数学课程的选择性匮乏、数学课堂主体性的丧失和数学教育功利性的评价是导致了创新思维缺失的直接原因。
第三部分(第三、四、五章)基于学生的创新思维培养分别从数学课程、数学教学和数学教育评价等方面对中学数学教育的改革问题进行了论述。数学课程作为学生学习数学的重要载体,对学生数学知识的积累和创新思维的发展起到奠基的作用。数学课程具有基础性、过程性、发展性和创新性等功能,在数学教育中要充分挖掘这些功能,并对数学课程资源进行开发和整合。数学课程具有极大的开放性和选择性,应从数学课程内容的选择、数学课程顺序的安排和数学知识的呈现方式三个方面去合理设计。发现、提出、分析和解决数学问题能力是学生学习数学的核心能力,对学生创新思维的培养具有重要的意义,因而数学教学应具有创生性和过程性,培养学生的数学问题意识。数学教学离不开数学教师,教师要关注学生的数学思考,促进数学理解和鼓励学生的求异思维。基于创新思维培养的数学教育评价在理念上要注意培养学生的数学情感,培育学生的数学能力,涵养学生的数学智慧；评价方式应具有多元性、多样性和人文性；数学教育的基本价值追求就是要促进学生的创新思维发展。
In the field of mathematics education (EduMath), Chinese EduMath has attracted the world's attention. On one hand, our traditional mathematics education has a lot of valuable aspects which are accepted by the international EduMath, such as focusing on the solid foundation of mathematics, accurate calculation and precise thinking. What's more, in the International Mathematical Olympic Competition of secondary school students, Chinese students often steal the show. However, on the other hand, the voices from China are very weak in the world-wide high-new technology areas. Particularly, no Chinese native person who has ever won the award of Nobel Prize and Fields Medal, which reflect the technological and innovative strength of a country as well as the mathematical level. We should seriously summarize and introspect our EduMath. So, the study of the paper tries to start with the relationship between EduMath and creative thinking to analyze the lack of cultivation of creative thinking in EduMath in the middle school. At last, the study researches the mathematics curriculum, mathematics teaching and the evaluation of EduMath, which are very important factors of cultivating students'creative thinking in mathematics education. This study consists of three parts, which are divided into five chapters.
The first part (Chapter Ⅰ) mainly discusses the general relationship of mathematics, EduMath and the development of innovative thinking. Because the mathematical thought are closely related each other from the day of its birth, the existence and development of the math are likely to be the dependent of thought; Mathematics is also one tool of thought, the keen power of thought and the thinking way often obtain support from mathematics to prove its esthetic sense and strength. Mathematics is a very important way to cultivate the thinking ability of the students. Mathematics education is abstract, simple, formal, logical, and beautiful; the significance of EduMath is to generate ideas, cultivate culture and inspire creation. On one hand, mathematics education has laid a good foundation for the cultivation of creative thinking; on the other hand, the cultivation of innovative thinking has promoted the development of mathematics and EduMath.
The second part (Chapter Ⅱ) analyses the lack of creative thinking in current EduMath in the middle school, based on the investigation and research. In the field of international EduMath, Chinese students will get high scores in tests (IAEP, TIMSS, PISA); The Chinese students seem to be memory, imitation, practices, and examinations in their math learning, which is so-called "the Chinese learner paradox". The value of EduMath is lost, and we believe that EduMath is a problem-solving training, which is a form and a competitive advantage; in practical teaching in mathematics, the knowledge points are all aspects of the EduMath, and it is the lack of process and does not pay attention to the cultivation of emotion. Due to the lack of selectivity of mathematics curriculum, the loss of subjects in math classroom and the utilitarian evaluation led to a lack of innovative thinking.
The third part (chapters III, IV, and chapter V) give the comments on the necessity of the mathematics curriculum, mathematics teaching and evaluation of EduMath respectively in the middle school, which are all designed to develop students'creative thinking. As important carriers of mathematics learning, mathematics curriculum plays a basic role in students'mathematical knowledge accumulation and the development of creative thinking. Any mathematics curriculum which students contact has enormous influences to their lifelong developments. The mathematics curriculum has features of basic, process, development and innovation. We are supposed to explore these characteristics, and mathematics curriculum resources should be excavated and integrated. Mathematics curriculum, with great openness and selectivity, should be organized properly with course contents, course sequences and curriculum presents and so on. The core ability of mathematics learning is to discover, submit, analyze and solve the mathematical questions, it is meaningful to the cultivation of students'innovative thinking, and thus the mathematics should be creational and processable, cultivate the students'questioning consciousness. Mathematics education can not be separated from mathematics teachers, who should better pay attention to students'thinking, promote mathematical understanding and encourage the thoughts of different seeking. Based on the cultivation of innovative thinking, the evaluation of EduMath should make the students achieve good emotion of mathematics, promote good self-learning ability and raise mathematics wisdom with the help of the teachers. In addition, in the way of evaluation methods, the diversity, the multiplicity and the humanity should be also taken into consideration; the value pursuing of mathematics education is to promote the development of students'creative thinking.
引文
①涂艳国主编：《中国儿童教育30年》,长沙：湖南师范大学出版社,2008年版,第196页。
②《国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020年)》,中国法制出版社,2010年版,第4-5页。
③李求来,昌国良编著：《中学数学教学论》,长沙：湖南师范大学出版社2006年版,第9页。
①范良火等编：《华人如何学习数学(中文版)》,南京：江苏教育出版社2005年版,第1-3页。
②曹才翰,章建跃著：《中学数学教学概论》,北京：北京师范大学出版社2008年版,第11页。
③[美]布鲁纳著,邵瑞珍译,王承绪校：《教育过程》,北京：文化教育出版社1982年版,第50～52页。
①马凤歧著：《自由与教育》,北京：北京师范大学出版社2006年版,第31页。
②杜威著,王承绪等译：《民主主义与教育》,北京：人民教育出版社1990年版,第236页。
③Professional Standards for Teaching Mathematics,1991年,第104页。
④[美]布鲁纳著,邵瑞珍译,王承绪校：《教育过程》,北京：文化教育出版社1982年版,第97页。
①联合国教科文组织国际教育发展委员会编著,华东师范大学比较教育研究所译：《学会生存——教育世界的今天和明天》,教育科学出版社1996年版,第108页。
②联合国教科文组织国际教育发展委员会编著,华东师范大学比较教育研究所译：《学会生存——教育世界的今天和明天》,教育科学出版社1996年版,第108页。
③[美] L.A.斯蒂恩主编,马继芳译：《今日数学》,上海：上海科学技术出版社1982年版,第31页。
④童秀英,沃建中：《高中生创造性思维发展特点的研究》,《心理发展与教育》2002年第2期。
⑤笔者曾以“数学教学与创新思维”为主题在百度上进行搜索,找到相关结果有279万条之多,但在中国期刊网上只找到66篇,且从文章来看,有关这方面的研究不够系统和深入。
⑥田友谊：《创造教育环境研究》,华中师范大学博士学位论文,2007年6月。
①[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,前言i。
②吴大任：《高观点下的初等数学》导读,http://www.shoulai.cn/sxzz/201101/20110151.htm.
③[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,吴大任,导读ii～v。
④[荷兰]弗赖登塔尔著,陈昌平,唐瑞芬等编译：《作为教育任务的数学》,上海：上海教育出版社1995年版,编译者序,第2-3页。
⑤[美]莫里斯·克莱因著,张理京等译：《古今数学思想》(第一册),上海：上海科技出版社2002年版,序,第4页。
⑥[美]莫里斯·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社2009年版,译者前言。
①郑毓信著,《数学教育哲学》,成都：四川教育出版社2001年版,第31页。
②周谷平：《国外关于创造性培养的若干研究》,《外国教育资料》,2000年第6期。
③21世纪中国数学教育展望课题组编：《21世纪中国数学教育展望课题组编》(第一辑),北京：北京师范大学出版社,1993年版。
④刘兼主编：《21世纪中国数学教育展望课题组编》(第二辑),北京：北京师范大学出版社,1995年版。
⑤周学海著：《数学教育学概论》,长春：东北师范大学出版社,1996年版。
⑥郑毓信,肖柏荣,熊萍著：《数学思维与数学方法论》,成都：四川教育出版社,2001年版。
⑦郑毓信著：《数学教育哲学》,成都：四川教育出版社,2001年版。
⑧徐斌艳编著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社,2001年版。
⑨顾泠沅,易凌峰,聂必凯编著：《寻找中间地带——国际数学教育改革的大趋势》,上海：上海教育出版社,2003年版。
⑩张奠宙,宋乃庆主编：《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版。
11李求来,昌国良编著：《中学数学教学论》,长沙：湖南师范大学出版社,2006年版。
12管廷禄,夏玉钦,常秀芳,纪利霞编：《中学数学教育教学论》,北京：科学出版社,2007年版。
13张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社2008年版。
14曹才翰,章建跃著：《中学数学教学概论》,北京：北京师范大学出版社,2008年版。
15何小亚著：《数学学与教的心理学》,广州：华南理工大学出版社,2011年版。
①王仲春,李元中,顾莉蕾,孙名符：《数学思维与思维方法论》,北京：高等教育出版社,1989年版,第83页。
②何小亚著：《数学学与教的心理学》,广州：华南理工大学出版社2011年版,第29页。
③管廷禄,夏玉钦,常秀芳,纪利霞编：《中学数学教育教学论》,北京：科学出版社2007年版,第130-131页。
④朱水根,苏帆：《浅议数学创造性思维的12个特征》,《数学教育学报》,1995年第2期。
⑤赵卿梅：《创新能力的形成与培养》,武汉：华中科技大学出版社2002年版,第22页。
⑥周明星：《创造教育与挫折教育》,北京：中国人事出版社1999年版,第101页。
①张丽华,白学军：《创造性思维研究概述》,《教育科学》,2006年第10期。
②何小亚著：《数学学与教的心理学》,广州：华南理工大学出版社2011年版,第30页。
③陈龙安著：《创造性思维与教学》,北京：中国轻工出版社,1999年6月,第84～106页。
④江丽：《刍议个体创造性思维发展的阻碍因素》,《高等理科教育》,2005年第5期。
⑤李正银：《数学与创新教育》,《数学教育学报》,2002年第2期。
⑥章建跃：《创造力研究与数学教学》,《数学通报》,1997年第12期。
⑦田运：《思维是什么》,《北京理工大学学报》(社会科学版)2000年5月。
①[德]海纳特著,陈钢林译：《创造力》,工人出版社,1986年版,第1页。
②周尉亭：《浅谈初中数学教学中创新思维的培养》,《教育研究》2008年第6期。
③胡中双：《浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养》,《湖南教育学院学报》2001年第7期。
①李正银：《数学创造教育的基本策略》,《课程·教材·教法》1996年第9期。
②[美]S·阿瑞提著,钱岗南译：《创造的秘密》,沈阳：辽宁人民出版社,1987年版,第18页。
③郭楚明：《数学创造教育应当确定和强化的几种观念》,《数学通讯》1997年第10期。
④蔡水明：《中学数学教学中创造性思维的培养》,《中学数学教育》2000年第4期。
⑤汪秉彝,吕传汉：《创新与中小学数学教育》,《数学教育学报》,2000年第11期。
⑥田友谊,涂艳国：《教育中的宽容与创造》,《教育发展研究》2009年第20期。
⑦王小华：《解题教学中创新思维的激发与培养》,《甘肃教育学院学报》2003年第1期。
⑧连学云：《数学开放题与创造性思维》,福建师范大学硕士论文,2002年,第12-24页。
①郭立昌：《构建中学数学创新教育教学模式体系》,《课程·教材·教法》2000年第9期。
②曾淑英：《基于数学课堂教学的学生创新思维的培养与研究》,江西师范大学2006年硕士论文,第10～12页。
③宁国然：《数学创新思维培养与“启发——创造”的教学模式》,首都师范大学2000年硕士论文,第18-19页。
④陈柏良：《培养创造性思维的数学教学模式研究》,《数学教学通讯》2003年7月总第176期。
①L·A·斯蒂恩著,马继芳译：《明日数学》,华中工学院出版社1987年版7月,第90～91页。
②[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社2009年版,第3页。
③许华山：《数学教学中对学生提出问题能力的培养》,华中师范大学2006年硕士论文。
①徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社2008年7月,第1页。
②张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第252～253页。
①郑毓信著：《数学教育哲学》,成都：四川出版集团,四川教育出版社2005年6月,第260～261页。
①[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,第80～90页。
②[美]理查德·沙沃森,丽萨·汤编,曹晓南等译：《教育的科学研究》,北京：教育科学出版社2006年版,第3页。
①钟启泉：《现代课程论》,上海：上海教育出版社,2003年版,第7页。
②张奠宙,宋乃庆主编《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第1页。
③[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第22页。
④ R·柯朗(Richard Courant)是当代对数学研究与数学教育都具有深远影响的数学家,是西方公认的数学权威, 1985年我国科学出版社曾以《数学是什么》为名出版过由柯朗和罗宾斯合作的版本,1995年美国沃里克大学教授I·斯图尔特参与修订,复旦大学出版以《什么是数学》出版。
①[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第一版序言。
②[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第一版序言。
③[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第469～470页。
④马克思恩格斯选集,第三卷,1972年5月第一版,第77页。
⑤[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第22页。
①王青建：《数学是什么》,《科学时报》2007年7月21日。
②胡典顺：《数学：意义的领域》,华中师范大学博士论文,2009年,第16～27页。
③齐民友教授曾提出一个著名的论断：一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。见齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第1页。
④中国社会科学院哲学所研究员林夏水先生提出了“量的层次性理念”。(1)量的第一层次：名数；(2)量的第二层次：(常)数；(3)量的第三层次：变数；(4)量的第四层次：结构；(5)量的层次的无限性。见林夏水著：《数学的对象与性质》,北京：社会科学文献出版社,1994年版,第31～39页。
⑤J.Kapur.王庆人译：《数学家谈数学本质》,北京：北京大学出版社,1989年版,第31页。
①[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第二版序言。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第8-13页。
③[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第10页。
④[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第221页。
①丁石孙,张祖贵著：《数学与教育》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第99页。
②沈康身著：《数学的魅力》(一),上海：上海辞书出版社,2006年版,前言
③[美]康斯坦丝·瑞德著,袁向东,李文林译：《希尔但特数学世界的亚历山大》,上海：上海世纪出版集团,2006年版,第221页。
①莫绍揆著：《数理逻辑初步》,上海：上海人民出版社,1980年版,第79页。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第61页。
①黄光荣：《对数学本质的认识》,《数学教育学报》,2002年第5期。
②徐艳斌：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社》,2001年版,第44-66页。
③张奠宙,宋乃庆主编：《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第197-200页。
④[美]莫里斯·克莱因著,邓东皋,张恭庆等译：《古今数学思想》(一),上海：上海科学技术出版社,2002年版,第27页。
⑤C·恩伯,M·恩伯著,杜彬彬译：《文化的变异》,沈阳：辽宁人民出版社,1988年版,第29页。
①C·Smotynski著,蔡克聚译：《数学——一种文化体系》,《数学译林》,1988年第3期。
②张维忠著：《文化视野中的数学与数学教育》,北京：人民教育出版社,2005年版,第4页。
③[美]M·克莱因著,刘志勇译：《数学与知识的探求》,上海：上海复旦大学出版,2007年版,第238页。
④[美]M·克莱因著,刘志勇译：《数学与知识的探求》,上海：上海复旦大学出版,2007年版,第242页。
⑤齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第301页。
①匡长福编著：《创新原理及应用》,北京：首都经经济贸易大学出版社,2004年版,第10页。
②龚春艳著：《龚春艳与创新学习》,北京：北京师范大学出版社,2006年版,第119页。
①现在有人研究这个问题,认为是一种神秘化,美国南伊利诺大学化学教授约翰·沃提兹在上个世纪80年代对凯库勒留下的资料做了透彻的研究,发现有众多间接证据能够证明凯库勒别有用心地捏造了这个梦故事。见《凯库勒的梦中发现之谜》http:/lifebaidu.blog.hexun.com/17101591_d.html。
①张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第238～239页。
①郑毓信著：《数学教育哲学》,成都：四川出版集团,四川教育出版社2005年6月,第163-164页。
②国际数学教育委员会编,张奠宙编译：《国际展望：九十年代的数学教育》,上海：上海教育出版社1990年12月,第78页。
③参见“自然科学哲学问题丛刊”,1982年,第1期,第61页。
④[日]米山国藏著,毛正中,吴素华译,曾祥华校：《数学的精神、思想和方法》,成都：四川教育出版社1986年版,第197-198页。
①曹才翰,章建跃著：《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第276页。
①参见中国科学院数学物理学部：《今日数学及其应用》,载《自然辩证法研究》,1994年第1期。
②裴光亚：《从教学中的问题看教师的知识高度》,《中学数学教学参考》,2008年第5期。
③基本数学活动经验是在《数学课程标准》修订过程中,东北师范大学史宁中校长提出的一个新的数学教育概念,得到了张奠宙等数学教育家的认同,认为是数学教育研究上的一个重要进展。
④张奠宙等著：《数学“双基”教学的理论与实践》,南宁：广西教育出版社,2008年版,第74页。
①其实这个问题只是理论上如此,我们在动手试验的过程中就已明确的感觉到,对折第8次就十分困难了。
②张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第148页。
③曹才翰,章建跃著；《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第330页。
①此即为费尔马猜想,费尔马曾在丢番图《算术》第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”直到1994年9月,英国数学家维尔斯才彻底证明了这个猜想。见http://baike.baidu.com/view/18295.htm。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第93页。
③徐本顺：《关于数学猜想的几个问题》,北京：人民出版社1983年版,第140页。
④冯建军：《创新教育与课程改革》,《中国教育学刊》,2000年第4期。
①朱清时：《缺乏好奇心想象力难成创新人才》,中国教育报,2009年9月8日第2版。
①在国际数学奥林匹亚获得奖牌的学生,日后成为大数学家的例子不胜枚举,例如下列获菲尔兹奖(Fields Medal)和Nevanlinna Prize(与计算器和信息科学有关的数学大奖)的数学家；1959年IMO银牌得主Gregory Margulis于1978获菲尔兹奖；1963-66年IMO金牌及银牌得主Laszlo Lovasz,于1999年获沃尔夫大奖(数学最高大奖),Lovasz并于1965及1966年连续两年取得IMO特别奖；1969年IMO金牌得主Valdimir Drinfeld于1990获菲尔兹奖；1974年IMO金牌得主Jean-Christophe Yoccoz于1994获菲尔兹奖；1977年及1978年IMO金、银牌得主Richard Borcherds于1998获菲尔兹奖；1981年IMO金牌得主Timothy Gowers于1998年获菲尔兹奖；1985年IMO银牌得主Laurant Lafforgue于2002年获菲尔兹奖；1977年IMO银牌得主Peter Shor于1998年获Nevanlinna Prize;1979年IMO金牌得主A Razborov于1990年获Nevanlinna Prize1986年IMO金牌得主S.Smirnov得2001年Clay数学研究奖；1990年IMO金牌得主V.Lafforgue得2000年欧洲数学联盟奖。参见http://math.cersp. com/Hotspot/online/200510/941.html。
①参阅浦树柔,戴廉：《缺乏“自主创新的核心技术”》,中新网,2004年6月7日。
②杨慧娟：《数学教育价值的重新审视——姜伯驹先生谈数学课程改革》,《数学教育学报》2010年第4期。
③社会中有太多只停留在书本知识的例子。戴祖望先生曾举过两个例子,一个高中毕业男生,无法在一个圆盘上均匀标注6个螺栓的位置,因为没有量角器；一个高中毕业女生,对制作销售额逐月递增对照图表感到紧张和无助。见《数学通报》1994年第1期。
④章建跃：《数学教育改革中几个问题的思考》,《数学通报》2005年第6期
⑤近年来有的地方进行数学教学改革,由学生代替老师来讲,从表面上看来是培养了学生的自主性,但仍存在很多问题。其一,还是知识的单向传递,由师灌变为生灌(师灌比生灌效果好?)；其二,未能减轻学生的学习负担,可能还相反。未能从教学本质上去解决问题。
①在教学调研中,我们曾亲眼见到过小学数学教学时如加法“9+2=?”,老师的口诀是“看大数,拆小数；看到9,想到1,把2拆成1和1。”全班机械性背诵这种情况,数学教学的精髓应让学生理解。
②涂荣豹,宋晓平：《中国数学教学的若干特点》,《课程·教材·教法》2006年第2期。
①张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
①史宁中,孔凡哲：《“数学教师的素养”对话录》,《人民教育》,2008年第21期。
②本人也经常接到这样非本质内容探讨的电话,如有教师问“直线是否为对称轴图形”,“线段有几条对称轴”等问题。
③方程有三种解释：含有未知数的等式；方程是具有等式的开句；美国、香港等地区的教材中方程是求指字母的值使已给等式成立的问题。
④陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第11期。
⑤李梁：《中学数学概念教学研究》,全国第九次中学数学教育优秀论文,2011年10月,成都。
⑥陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
①陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
②殷堰工：《中学数学教育功能探讨提纲》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
③潘德党：《谈谈数学本质与数学教育的整合》,《福建教育学院学报》,2006年第12期。
①冉金：《小升初：谁中了“禁奥令”圈套?》,《南方周末》2010年7月15日。
②张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
①张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
②唐瑞芬：《关于布鲁姆教育目标分类学的思考》,《数学教育学报》,1993年第2期。
③此调查系本人参与的湖北省新课程高中数学教学现状问卷及访谈调研,调查问卷见附录。
①谢明初：《数学机械学习的表现、成因及若干对策》,《数学教育学报》,1997年第5期。
②叶澜：《重建课堂教学过程观》,《教育研究》,2002年第10期。
③李文林：《数学通报》,《关于基础教育数学课程改革若干问题的思考》,《数学通报》,2007年第5期。
①这是一个很有意思的问题。中央电视台曾在某年的青年歌手大奖赛中出过此题,本人后来在若干个对数学教学培训活动中调查过数学教师这个问题的解答,给出了四个答案备选,遗憾的是到目前为止回答的最好的正确率不超过40%。
②李建宏：《数学教学要重视过程》,《现代教育报》,2008年12月8日。
①王丽丽：《中学数学教学的现状调查和分析》,《科学教育家》2008年第4期。
②刘兼,孔企平：《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学》,北京：北京师范大学出版社,2002年版,第17页。
③黄秦安：《关于数学教育若干问题与现象的忧与思》,《数学教育学报》,2008年第2期。
①从1990年代开始,华人的数学学习引起了世人的关注。国际数学教育测试一再证明了华人地区学生的数学成绩十分优秀。但另一方面,华人的数学学习给人的的印象却是停留在记忆、模仿、练习、考试等缺乏主动性学习的层面。参见范良火,黄毅英等编《华人如何学习数学》(中文版),江苏教育出版社,2005年版,中文版序言。
①崔永元著：《不过如此》,北京：华艺出版社,2001年版,第3-7页。
②胡典顺：《数学：意义的领域》,2009年华中师范大学博士论文,第78～79页。
①吕世虎：《中国当代中学数学课程发展的历程及其启示》,东北师范大学2009年博士论文,第90页。
①顾继玲：《现代数学课程的价值取向研究》,南京师范大学2004年博士论文,第56～57页。
①央视《新闻1+1》：见http://news.sina.com.cn/c/sd/2011-08-26/235123058129.shtml。
②见2011年3月13日《新京报》,吴鹏王佳琳涂重航鲍征：《教育局副局长出升小学试题难倒众委员教授》。
①除非是明确说明不作考试要求的内容才不会学习,在初中阶段数学教材中有的是选学内容,不纳入中考命题范围,很多数学老师就干脆不上这部分内容；不过也不尽然,有一年某省的高考数学中有专家说正态分布不作考试要求,很多学校就没有涉及到这部分内容,但高考数学试题中却出现了,所以现在也不能轻易懈怠。
②范良火等编：《华人如何学习数学》,南京：江苏教育出版社2005年版,第425页。
③范良火等编：《华人如何学习数学》,南京：江苏教育出版社2005年版,第419页。
④教育部部长袁贵仁也特别强调,“幼教要防止小学化倾向”。见http://news.xinhuanet.com/edu/2011-10/09/c_122133207_2.htm。
①朱华伟：《试论数学奥林匹克的教育价值》,《数学教育学报》,2007年第2期。
②见东南网教育频道http://edu.fjsen.com/show-8-5633-l.html。
③丘成桐：《奥数培养不出大数学家》,《光明日报》,2005年4月20日。
①章建跃：《三次国际数学教育改革运动及其启示》,《数学通报》2002年第8期。
①[美]布鲁纳著,邵瑞珍译：《教育过程》,北京：文化教育出版社1982版,第31～32页。
①蔡上鹤：《建国以来初中数学教学大纲的演变与启示》,《数学通报》,2005年第3期。
①新青年数学工作室著：《中学数学教研论文的读与写》,上海：上海教育出版社,2010年版,第18-19页。
②严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第370页。
①[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社2009年版,第2页
①此即著名的哥德巴赫猜想,中国现代数学家陈景润、王元等人在这方面做出了出色的工作。
①中华人民共和国制定：《义务教育数学课程标准》(2001年版),北京：北京师范大学出版社,2001年版,第67页。
①张孝达等编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第60页。
②选用黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学马静微老师课例,有删改。
①吕建伟：《课程资源整合：贵在有效》,《教海探航》2011年2月。
②执教者为湖北黄冈市一位非常优秀的数学教师,用的是课标人教版2007年修订前的教材。
①严士健,张奠宙,王尚志：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第24～25页。
①严士健,张奠宙,王尚志：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第73～74页。
①吕世虎：《中国当代中学数学课程发展的历程及其启示》,东北师范大学博士学位论文,2009年5月。
②林群主编：《义务教育课程标准实验教科书·数学七年级上册》,北京：人民教育出版社2007年版,目录。
③马复主编：《义务教育课程标准实验教科书·数学七年级上册》,北京：北京师范大学出版社,2008年版,目录。
①本人曾参与的国家社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”文本比较研究(初中数学部分)。
②人民教育出版社中学数学课程教材研究开发中心编：义务教育课程标准实验教科书(人教版)数学(七～九年级)教师培训手册。
①李海东：国家社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”文本比较研究(初中数学部分)研究成果。
①石中英著：《教育哲学》,北京：北京师范大学出版社,2007年版,第157页。
②石中英著：《教育哲学》,北京：北京师范大学出版社,2007年版,第159～160页。
③[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第63页。
④曹才翰,章建跃：《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第378-379页。
⑤[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第63页。
①[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第65页。
②中华人民共和国教育部制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年版,第80页。
③严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第300页。
①[荷]弗赖登塔尔,陈昌平等编译：《作为教育任务的数学》,上海：上海教育出版社1995年版,第92页。
①黄兴丰,程龙海译,《课本和课堂中数学对话的历史》,《数学教学》2002年第6期。
②[英]戴维·伯姆著,王松涛译：《论对话》,北京：教育科学出版社,2004年版,译丛总序第7页。
①[英]戴维·伯姆著,王松涛译：《论对话》,北京：教育科学出版社,2004年版,第35页。
②[苏]尤·克·巴班斯基,吴文侃等译：《论教学过程最优化》,北京：教育科学出版社,1982年版,第84页。
①钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
②钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
③严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第301页。
④[日]佐藤学著,钟启泉译：《学习的快乐——走向对话》,北京：教育科学出版社2004年版,第38-39页。
①郑毓信：《走进数学思维(一)：从数学抽象谈起》,《小学教学(数学版)》,2008年第5期。
②孙延洲,崔小平：《构建美的数学课堂》,《中学数学》2007年第1期。
①和学新,焦燕灵：《试论表达的教育学意义及实现》,《教育研究》,2006年第9期。
①靖国平著：《教育的智慧性格》,武汉：湖北教育出版社,2004年版,第40页。
②邹广文,崔唯航：《从现成到生成——论哲学思维方式的现代转换》,《清华大学学报(哲学社会科学版)》,2003第2期。
③董林伟：《倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径》,《数学通报》,2009年第9期。
①钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
①徐艳斌编著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社,2001年版,第120-121页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第17页。
③[美]S.E.斯通普夫,J.菲泽著,匡宏,邓晓芒等译：《西方哲学史》,北京：世界图书出版公司,2009年版,第6页。
①刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
②徐艳斌编著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社,2001年版,第122页。
①谢平：《谈“中国的数学问题解决”中的若干问题》,《中学数学月刊》,2000年第4期。
②谢平：《谈“中国的数学问题解决”中的若干问题》,《中学数学月刊》,2000年第4期。
③王兄：《数学问题解决研究述评》,《广西师范大学学报》,2000年第1期。
④张奠宙,宋乃庆主编：《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第271页。
⑤朱德全：《数学问题解决的表征及元认知开发》,《教育研究》,1997年第3期。
①吴文俊院士继承和发展了中国古代数学和算法化思想,开创了崭新的数学机械化领域,建立了用计算机证明几何定理的“吴方法”,是国际自动推理界先驱性工作。见张孝达等选编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第98-124页。
①张孝达等选编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第124页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第18页。
①中华人民共和国制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年版,第7页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第18～19页。
③任子朝：《谈数学教育中的“问题解决”》,《数学通报》,1988年第3期。
①徐艳斌著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社2001年版,第128页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①周小川：《美国数学课程标准中“问题解决”的变化及启示》,《课程·教材·教法》,2007年第4期。
①周小川：《美国数学课程标准中“问题解决”的变化及启示》,《课程·教材·教法》,2007年第4期。
①刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①刘兼主编：《21世纪中国数学教育展望②》,北京：北京师范大学出版社,1995年版,第163页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①顾泠沅,易凌峰,聂必凯编著：《寻找中间地带——国际数学教育改革的大趋势》,上海：上海教育出版社2003年版,第86页。
②陈德峰,《创造型教师的素质构成与培养刍议》,《黑龙江高教研究》,2002年第4期。
③单尊：《数学是思维的科学》,《数学通报》,2001年第6期。
④这一观点与我国现在推行的高中数学课程改革观念相符,高中数学课程分为必修和选修课程,其中选修系列1是为准备在人文、社会科学发展方向的学生设置的,选修系列2是为理工、经济方面发展学生设置的,选修系列3和系列4是为所有学生进一步拓展或提高数学素养设置的。
⑤葛军：《试论数学教育意义下的“生长”》,《数学教育学报》,2008年第3期。
①陶维林：《数学教学是思维的教学——听课有感》,《数学通报》,2008年第3期。
②张孝达等编：《数学大师论数学教育》,北京：人民教育出版社,2007年版,第60页。
①邱崇光：《对我国教育技术学科研现状的冷思考——从“教学结构”与“教学模式”争论谈起》,《电化教育研究》,2004年第7期。
②涂荣豹,宋晓平：《中国数学教学的若干特点》,《课程·教材·教法》,2006年第2期。
①这个例子我在多个地方引用过,引起了不少数学教师的认真思考。我们在定势思维的影响下,往往考虑的都是直线剪后再分类的问题,殊不知还可以对线进行分类。
①张奠宙,竺仕芬,林永伟：《“基本数学经验”的界定与分类》,《数学通报》,2008年第5期。
②中华人民共和国制定：《义务教育数学课程标准》(2011年版),北京：北京师范大学出版社,2011年版,第42页。
①黄兴丰编译：《美国数学家与数学教育家之间的一场数学战争》,《数学教学》,2006第7期。
②其实数学考试也是可以促进数学学习的,华南师范大学何小亚教授就鼓励数学考试给学生高分,让学生感受到成功的信心。
①裴光亚：《从教学中的问题看老师的知识高度》,《中学数学教学参考》,2008年第5期。
①曹才翰,章建跃著：《中学数学教育概论》,北京：北京师范大学出版社,2008年版,第137页。
②[苏]克鲁捷茨基：《中小学生数学能力心理学》,上海：上海教育出版社,1983年版,第87页。
①汤服成,何文林：《中学生数学元认知知识的调查研究》,《数学教育学报》,2009年第6期。
①张伟平：《TIMSS测试的认知诊断评价标准下中美学生数学能力比较》,《数学教育学报》,2010年第4期。
②徐建星,罗燕,李水仙：《漫话数学课改现状与趋势——追寻中国特色的数学教育》,《数学教育学报》,2010年第8期。
①张祎：《数学思维在初中数学教学中的培养》,河北师范大学硕士学位论文,2006年。
②吴晓静,傅岩：《智慧课堂教学的基本理念》,《教育探索》,2009年09期。
①齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第17页。
②齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第1页。
①崔允漷主编：《有效教学》,上海：华东师范大学出版社,2009年版,第244～245页。
①施良方,崔允漷主编：《教学理论课堂教学的原理、策略与研究》,上海：华东师范大学出版社,1999年版,第335-338页。
① Hambleton R K. Advances in Assessment Models and Practices [A]. In:Berliner D C, Calfee R C. Handbook of Educational Psychology [C]. New York:Simon & Schunster Macmillan,1996.
②[美]Ellen Weber著,国家基础教育课程改革“促进教师发展与学生成长的评价研究”项目组译：《有效的学生评价》,北京：中国轻工业出版社,2003年版,第9页。
③[美IW.James Ponham著.国家基础教育课程改革“促讲教师发展与学牛成长的评价研究”项目组译：促讲教学的课堂评价》,北京：中国轻工业出版社,2003年版,第136页。
④刘岗：《数学学习评价策略研究》,西北师范大学博士学位论文,2007年,第74～77页。
①崔允漷主编：《有效教学》,上海：华东师范大学出版社,2009年版,第260页。
②孙晓天：《数学新课程散论》,《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学2002》(刘兼,孔企平主编),北京：北京师范大学出版社,2002年版,第31页。
①涂艳国主编：《教育评价》,北京：高等教育出版社,2007年出版,第211页。
②张春莉：《应用成长记录袋评价的理念与方法问答》,《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学2002》(刘兼,孔企平主编),北京：北京师范大学出版社,2002年版,第41页。
①本案例选自武汉市任家路中学吴四新老师。
①李彬：《学生发展的理性思考》,《当代青年研究》,2004年第4期。
②叶奕乾,祝蓓里主编：《心理学》,上海：华东师范大学出版社,1988年版,第235页。
①中华人民共和国教育部制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年,第6页。
②曹一鸣：《数学教育价值观的嬗变与重构》,《教育研究》,2005年第12期。
③[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第103页。
④[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第3页。
⑤[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第3页。
①[美]M·克莱因著,李宏魁译：《数学：确定性的丧失》,长沙：湖南科学技术出版社,2007年版,第465页。
②贾宏燕：《教育过程是促进学生个性发展的过程》,《山西师范大学学报》,2000年第2期。
①国家环保局：《我们共同的未来》,北京：世界知识出版社,1989年版,第3页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
③曹一鸣：《数学教学模式的重构与超越》,南京师范大学2003年博士论文。
④严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第341页。
⑤教育部师范教育司组编：《张思明与数学课师学习》,北京：北京师范大学出版社,2006年版,第69-70页。
①杨江波：《旧金山的金门大桥》,《青年博览》,2009年第6期。
①孙云晓著：《教育的秘诀是真爱》,北京：华语教学出版社2007年版,第336页～337页。
②白改平,杨光伟：《美国数学课程改革的特点及其启示》,《外国中小学教育》,2008年第7期。
①黄全愈著：《素质教育在美国》,广州：广东教育出版社,1999年版,第30页。
②中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》(2011年版),北京师范大学出版社,2001年版,第2页。
③上官子木著：《创造力危机》,上海：华东师范大学出版社,2004年版,第33页。
①桑新民：《呼唤新世纪的教育哲学》,北京：教育科学出版社1993年4月,第116页。
②帕特里克·斯莱特里著,徐文彬,孙玲译：《后现代时期的课程发展》,广西师范大学出版社,2007年版,第112页。
1.[德]海纳特著,陈钢林译：《创造力》,工人出版社1986年版。
2.[荷兰]弗赖登塔尔著,陈昌平,唐瑞芬等编译：《作为教育任务的数学》,上海教育出版社1995年版。
3.[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探——在中国的讲学》,上海教育出版社1999年版。
4.[美]S·阿瑞提著,钱岗南译：《创造的秘密》,辽宁人民出版社,1987年版。
5.[德]韦特海默著,林宗基译：《创造性思维》,教育科学出版社1987年版。
6.[德]雅斯贝尔斯著,邹进译：《什么是教育》,读书·生活·新知三联书店1991年版。
7.[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,人民教育出版社1984年版。
8.[美]布鲁纳著,邵瑞珍译,王承绪校：《教育过程》,文化教育出版社1982年版。
9.[法]让保罗·萨特著,周煦良、汤永宽译：《存在主义是一种人道主义》,上海译文出版社2005年版。
10.[法][美]康斯坦丝·瑞德著,袁向东,李文林译：《希尔伯特数学世界的亚历山大》,上海世纪出版集团2006年版。
11.[美]亨利·N·波拉克著,李萍萍译：《不确定的科学与不确定的世界》,上海科技教育出版社2005年版。
12.[加]马克斯·范梅南著,李树英译：《教学机智—教育智慧的意蕴》,教育科学出版社,2001年版。
13.[日]佐藤学著,钟启泉译：《学习的快乐——走向对话》,教育科学出版社2004年版。
14.[英]赫·斯宾塞著,胡毅、王承绪译：《斯宾塞教育论著选》,人民教育出版社2005年版。
15.[英]怀特海著,徐汝舟译：《教育的目的》,读书·生活·新知三联书店2002年版。
16.[美]霍华德·加德纳著,兰金仁译：《智能的结构》,光明日报出版社1990年版。
17.[美]霍华德·加德纳著,霍力岩等译：《智力的重构——21世纪的多元智力》,中国轻工业出版社2004年版。
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④童秀英,沃建中：《高中生创造性思维发展特点的研究》,《心理发展与教育》2002年第2期。
⑤笔者曾以“数学教学与创新思维”为主题在百度上进行搜索,找到相关结果有279万条之多,但在中国期刊网上只找到66篇,且从文章来看,有关这方面的研究不够系统和深入。
⑥田友谊：《创造教育环境研究》,华中师范大学博士学位论文,2007年6月。
①[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,前言i。
②吴大任：《高观点下的初等数学》导读,http://www.shoulai.cn/sxzz/201101/20110151.htm.
③[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,吴大任,导读ii～v。
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①王仲春,李元中,顾莉蕾,孙名符：《数学思维与思维方法论》,北京：高等教育出版社,1989年版,第83页。
②何小亚著：《数学学与教的心理学》,广州：华南理工大学出版社2011年版,第29页。
③管廷禄,夏玉钦,常秀芳,纪利霞编：《中学数学教育教学论》,北京：科学出版社2007年版,第130-131页。
④朱水根,苏帆：《浅议数学创造性思维的12个特征》,《数学教育学报》,1995年第2期。
⑤赵卿梅：《创新能力的形成与培养》,武汉：华中科技大学出版社2002年版,第22页。
⑥周明星：《创造教育与挫折教育》,北京：中国人事出版社1999年版,第101页。
①张丽华,白学军：《创造性思维研究概述》,《教育科学》,2006年第10期。
②何小亚著：《数学学与教的心理学》,广州：华南理工大学出版社2011年版,第30页。
③陈龙安著：《创造性思维与教学》,北京：中国轻工出版社,1999年6月,第84～106页。
④江丽：《刍议个体创造性思维发展的阻碍因素》,《高等理科教育》,2005年第5期。
⑤李正银：《数学与创新教育》,《数学教育学报》,2002年第2期。
⑥章建跃：《创造力研究与数学教学》,《数学通报》,1997年第12期。
⑦田运：《思维是什么》,《北京理工大学学报》(社会科学版)2000年5月。
①[德]海纳特著,陈钢林译：《创造力》,工人出版社,1986年版,第1页。
②周尉亭：《浅谈初中数学教学中创新思维的培养》,《教育研究》2008年第6期。
③胡中双：《浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养》,《湖南教育学院学报》2001年第7期。
①李正银：《数学创造教育的基本策略》,《课程·教材·教法》1996年第9期。
②[美]S·阿瑞提著,钱岗南译：《创造的秘密》,沈阳：辽宁人民出版社,1987年版,第18页。
③郭楚明：《数学创造教育应当确定和强化的几种观念》,《数学通讯》1997年第10期。
④蔡水明：《中学数学教学中创造性思维的培养》,《中学数学教育》2000年第4期。
⑤汪秉彝,吕传汉：《创新与中小学数学教育》,《数学教育学报》,2000年第11期。
⑥田友谊,涂艳国：《教育中的宽容与创造》,《教育发展研究》2009年第20期。
⑦王小华：《解题教学中创新思维的激发与培养》,《甘肃教育学院学报》2003年第1期。
⑧连学云：《数学开放题与创造性思维》,福建师范大学硕士论文,2002年,第12-24页。
①郭立昌：《构建中学数学创新教育教学模式体系》,《课程·教材·教法》2000年第9期。
②曾淑英：《基于数学课堂教学的学生创新思维的培养与研究》,江西师范大学2006年硕士论文,第10～12页。
③宁国然：《数学创新思维培养与“启发——创造”的教学模式》,首都师范大学2000年硕士论文,第18-19页。
④陈柏良：《培养创造性思维的数学教学模式研究》,《数学教学通讯》2003年7月总第176期。
①L·A·斯蒂恩著,马继芳译：《明日数学》,华中工学院出版社1987年版7月,第90～91页。
②[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社2009年版,第3页。
③许华山：《数学教学中对学生提出问题能力的培养》,华中师范大学2006年硕士论文。
①徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社2008年7月,第1页。
②张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第252～253页。
①郑毓信著：《数学教育哲学》,成都：四川出版集团,四川教育出版社2005年6月,第260～261页。
①[德]菲利克斯·克莱因,舒湘芹等译,齐民友审：《高观点下的初等数学》(第一卷),上海：复旦大学出版社2010年版,第80～90页。
②[美]理查德·沙沃森,丽萨·汤编,曹晓南等译：《教育的科学研究》,北京：教育科学出版社2006年版,第3页。
①钟启泉：《现代课程论》,上海：上海教育出版社,2003年版,第7页。
②张奠宙,宋乃庆主编《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第1页。
③[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第22页。
④ R·柯朗(Richard Courant)是当代对数学研究与数学教育都具有深远影响的数学家,是西方公认的数学权威, 1985年我国科学出版社曾以《数学是什么》为名出版过由柯朗和罗宾斯合作的版本,1995年美国沃里克大学教授I·斯图尔特参与修订,复旦大学出版以《什么是数学》出版。
①[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第一版序言。
②[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第一版序言。
③[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第469～470页。
④马克思恩格斯选集,第三卷,1972年5月第一版,第77页。
⑤[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第22页。
①王青建：《数学是什么》,《科学时报》2007年7月21日。
②胡典顺：《数学：意义的领域》,华中师范大学博士论文,2009年,第16～27页。
③齐民友教授曾提出一个著名的论断：一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的,一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。见齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第1页。
④中国社会科学院哲学所研究员林夏水先生提出了“量的层次性理念”。(1)量的第一层次：名数；(2)量的第二层次：(常)数；(3)量的第三层次：变数；(4)量的第四层次：结构；(5)量的层次的无限性。见林夏水著：《数学的对象与性质》,北京：社会科学文献出版社,1994年版,第31～39页。
⑤J.Kapur.王庆人译：《数学家谈数学本质》,北京：北京大学出版社,1989年版,第31页。
①[美]R·柯朗,H·罗宾著,I·斯图尔特修订,左平,张饴慈译：《什么是数学》,复旦大学出版社2008年版,第二版序言。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第8-13页。
③[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第10页。
④[苏]A·A·斯托利亚尔著,丁尔陞等译：《数学教育学》,北京：人民教育出版社,1984年版,第221页。
①丁石孙,张祖贵著：《数学与教育》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第99页。
②沈康身著：《数学的魅力》(一),上海：上海辞书出版社,2006年版,前言
③[美]康斯坦丝·瑞德著,袁向东,李文林译：《希尔但特数学世界的亚历山大》,上海：上海世纪出版集团,2006年版,第221页。
①莫绍揆著：《数理逻辑初步》,上海：上海人民出版社,1980年版,第79页。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第61页。
①黄光荣：《对数学本质的认识》,《数学教育学报》,2002年第5期。
②徐艳斌：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社》,2001年版,第44-66页。
③张奠宙,宋乃庆主编：《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第197-200页。
④[美]莫里斯·克莱因著,邓东皋,张恭庆等译：《古今数学思想》(一),上海：上海科学技术出版社,2002年版,第27页。
⑤C·恩伯,M·恩伯著,杜彬彬译：《文化的变异》,沈阳：辽宁人民出版社,1988年版,第29页。
①C·Smotynski著,蔡克聚译：《数学——一种文化体系》,《数学译林》,1988年第3期。
②张维忠著：《文化视野中的数学与数学教育》,北京：人民教育出版社,2005年版,第4页。
③[美]M·克莱因著,刘志勇译：《数学与知识的探求》,上海：上海复旦大学出版,2007年版,第238页。
④[美]M·克莱因著,刘志勇译：《数学与知识的探求》,上海：上海复旦大学出版,2007年版,第242页。
⑤齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第301页。
①匡长福编著：《创新原理及应用》,北京：首都经经济贸易大学出版社,2004年版,第10页。
②龚春艳著：《龚春艳与创新学习》,北京：北京师范大学出版社,2006年版,第119页。
①现在有人研究这个问题,认为是一种神秘化,美国南伊利诺大学化学教授约翰·沃提兹在上个世纪80年代对凯库勒留下的资料做了透彻的研究,发现有众多间接证据能够证明凯库勒别有用心地捏造了这个梦故事。见《凯库勒的梦中发现之谜》http:/lifebaidu.blog.hexun.com/17101591_d.html。
①张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第238～239页。
①郑毓信著：《数学教育哲学》,成都：四川出版集团,四川教育出版社2005年6月,第163-164页。
②国际数学教育委员会编,张奠宙编译：《国际展望：九十年代的数学教育》,上海：上海教育出版社1990年12月,第78页。
③参见“自然科学哲学问题丛刊”,1982年,第1期,第61页。
④[日]米山国藏著,毛正中,吴素华译,曾祥华校：《数学的精神、思想和方法》,成都：四川教育出版社1986年版,第197-198页。
①曹才翰,章建跃著：《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第276页。
①参见中国科学院数学物理学部：《今日数学及其应用》,载《自然辩证法研究》,1994年第1期。
②裴光亚：《从教学中的问题看教师的知识高度》,《中学数学教学参考》,2008年第5期。
③基本数学活动经验是在《数学课程标准》修订过程中,东北师范大学史宁中校长提出的一个新的数学教育概念,得到了张奠宙等数学教育家的认同,认为是数学教育研究上的一个重要进展。
④张奠宙等著：《数学“双基”教学的理论与实践》,南宁：广西教育出版社,2008年版,第74页。
①其实这个问题只是理论上如此,我们在动手试验的过程中就已明确的感觉到,对折第8次就十分困难了。
②张楚廷著：《数学与创造》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第148页。
③曹才翰,章建跃著；《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第330页。
①此即为费尔马猜想,费尔马曾在丢番图《算术》第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”直到1994年9月,英国数学家维尔斯才彻底证明了这个猜想。见http://baike.baidu.com/view/18295.htm。
②徐利治,王前著：《数学与思维》,大连：大连理工大学出版社2008年版,第93页。
③徐本顺：《关于数学猜想的几个问题》,北京：人民出版社1983年版,第140页。
④冯建军：《创新教育与课程改革》,《中国教育学刊》,2000年第4期。
①朱清时：《缺乏好奇心想象力难成创新人才》,中国教育报,2009年9月8日第2版。
①在国际数学奥林匹亚获得奖牌的学生,日后成为大数学家的例子不胜枚举,例如下列获菲尔兹奖(Fields Medal)和Nevanlinna Prize(与计算器和信息科学有关的数学大奖)的数学家；1959年IMO银牌得主Gregory Margulis于1978获菲尔兹奖；1963-66年IMO金牌及银牌得主Laszlo Lovasz,于1999年获沃尔夫大奖(数学最高大奖),Lovasz并于1965及1966年连续两年取得IMO特别奖；1969年IMO金牌得主Valdimir Drinfeld于1990获菲尔兹奖；1974年IMO金牌得主Jean-Christophe Yoccoz于1994获菲尔兹奖；1977年及1978年IMO金、银牌得主Richard Borcherds于1998获菲尔兹奖；1981年IMO金牌得主Timothy Gowers于1998年获菲尔兹奖；1985年IMO银牌得主Laurant Lafforgue于2002年获菲尔兹奖；1977年IMO银牌得主Peter Shor于1998年获Nevanlinna Prize;1979年IMO金牌得主A Razborov于1990年获Nevanlinna Prize1986年IMO金牌得主S.Smirnov得2001年Clay数学研究奖；1990年IMO金牌得主V.Lafforgue得2000年欧洲数学联盟奖。参见http://math.cersp. com/Hotspot/online/200510/941.html。
①参阅浦树柔,戴廉：《缺乏“自主创新的核心技术”》,中新网,2004年6月7日。
②杨慧娟：《数学教育价值的重新审视——姜伯驹先生谈数学课程改革》,《数学教育学报》2010年第4期。
③社会中有太多只停留在书本知识的例子。戴祖望先生曾举过两个例子,一个高中毕业男生,无法在一个圆盘上均匀标注6个螺栓的位置,因为没有量角器；一个高中毕业女生,对制作销售额逐月递增对照图表感到紧张和无助。见《数学通报》1994年第1期。
④章建跃：《数学教育改革中几个问题的思考》,《数学通报》2005年第6期
⑤近年来有的地方进行数学教学改革,由学生代替老师来讲,从表面上看来是培养了学生的自主性,但仍存在很多问题。其一,还是知识的单向传递,由师灌变为生灌(师灌比生灌效果好?)；其二,未能减轻学生的学习负担,可能还相反。未能从教学本质上去解决问题。
①在教学调研中,我们曾亲眼见到过小学数学教学时如加法“9+2=?”,老师的口诀是“看大数,拆小数；看到9,想到1,把2拆成1和1。”全班机械性背诵这种情况,数学教学的精髓应让学生理解。
②涂荣豹,宋晓平：《中国数学教学的若干特点》,《课程·教材·教法》2006年第2期。
①张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
①史宁中,孔凡哲：《“数学教师的素养”对话录》,《人民教育》,2008年第21期。
②本人也经常接到这样非本质内容探讨的电话,如有教师问“直线是否为对称轴图形”,“线段有几条对称轴”等问题。
③方程有三种解释：含有未知数的等式；方程是具有等式的开句；美国、香港等地区的教材中方程是求指字母的值使已给等式成立的问题。
④陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第11期。
⑤李梁：《中学数学概念教学研究》,全国第九次中学数学教育优秀论文,2011年10月,成都。
⑥陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
①陈重穆,宋乃庆：《淡化形式,注重实质》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
②殷堰工：《中学数学教育功能探讨提纲》,《数学教育学报》,1993年第2卷第2期。
③潘德党：《谈谈数学本质与数学教育的整合》,《福建教育学院学报》,2006年第12期。
①冉金：《小升初：谁中了“禁奥令”圈套?》,《南方周末》2010年7月15日。
②张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
①张奠宙,郑正亚：《数学教育争鸣十题》,《数学教育学报》,1995年第4卷第3期。
②唐瑞芬：《关于布鲁姆教育目标分类学的思考》,《数学教育学报》,1993年第2期。
③此调查系本人参与的湖北省新课程高中数学教学现状问卷及访谈调研,调查问卷见附录。
①谢明初：《数学机械学习的表现、成因及若干对策》,《数学教育学报》,1997年第5期。
②叶澜：《重建课堂教学过程观》,《教育研究》,2002年第10期。
③李文林：《数学通报》,《关于基础教育数学课程改革若干问题的思考》,《数学通报》,2007年第5期。
①这是一个很有意思的问题。中央电视台曾在某年的青年歌手大奖赛中出过此题,本人后来在若干个对数学教学培训活动中调查过数学教师这个问题的解答,给出了四个答案备选,遗憾的是到目前为止回答的最好的正确率不超过40%。
②李建宏：《数学教学要重视过程》,《现代教育报》,2008年12月8日。
①王丽丽：《中学数学教学的现状调查和分析》,《科学教育家》2008年第4期。
②刘兼,孔企平：《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学》,北京：北京师范大学出版社,2002年版,第17页。
③黄秦安：《关于数学教育若干问题与现象的忧与思》,《数学教育学报》,2008年第2期。
①从1990年代开始,华人的数学学习引起了世人的关注。国际数学教育测试一再证明了华人地区学生的数学成绩十分优秀。但另一方面,华人的数学学习给人的的印象却是停留在记忆、模仿、练习、考试等缺乏主动性学习的层面。参见范良火,黄毅英等编《华人如何学习数学》(中文版),江苏教育出版社,2005年版,中文版序言。
①崔永元著：《不过如此》,北京：华艺出版社,2001年版,第3-7页。
②胡典顺：《数学：意义的领域》,2009年华中师范大学博士论文,第78～79页。
①吕世虎：《中国当代中学数学课程发展的历程及其启示》,东北师范大学2009年博士论文,第90页。
①顾继玲：《现代数学课程的价值取向研究》,南京师范大学2004年博士论文,第56～57页。
①央视《新闻1+1》：见http://news.sina.com.cn/c/sd/2011-08-26/235123058129.shtml。
②见2011年3月13日《新京报》,吴鹏王佳琳涂重航鲍征：《教育局副局长出升小学试题难倒众委员教授》。
①除非是明确说明不作考试要求的内容才不会学习,在初中阶段数学教材中有的是选学内容,不纳入中考命题范围,很多数学老师就干脆不上这部分内容；不过也不尽然,有一年某省的高考数学中有专家说正态分布不作考试要求,很多学校就没有涉及到这部分内容,但高考数学试题中却出现了,所以现在也不能轻易懈怠。
②范良火等编：《华人如何学习数学》,南京：江苏教育出版社2005年版,第425页。
③范良火等编：《华人如何学习数学》,南京：江苏教育出版社2005年版,第419页。
④教育部部长袁贵仁也特别强调,“幼教要防止小学化倾向”。见http://news.xinhuanet.com/edu/2011-10/09/c_122133207_2.htm。
①朱华伟：《试论数学奥林匹克的教育价值》,《数学教育学报》,2007年第2期。
②见东南网教育频道http://edu.fjsen.com/show-8-5633-l.html。
③丘成桐：《奥数培养不出大数学家》,《光明日报》,2005年4月20日。
①章建跃：《三次国际数学教育改革运动及其启示》,《数学通报》2002年第8期。
①[美]布鲁纳著,邵瑞珍译：《教育过程》,北京：文化教育出版社1982版,第31～32页。
①蔡上鹤：《建国以来初中数学教学大纲的演变与启示》,《数学通报》,2005年第3期。
①新青年数学工作室著：《中学数学教研论文的读与写》,上海：上海教育出版社,2010年版,第18-19页。
②严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第370页。
①[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社2009年版,第2页
①此即著名的哥德巴赫猜想,中国现代数学家陈景润、王元等人在这方面做出了出色的工作。
①中华人民共和国制定：《义务教育数学课程标准》(2001年版),北京：北京师范大学出版社,2001年版,第67页。
①张孝达等编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第60页。
②选用黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学马静微老师课例,有删改。
①吕建伟：《课程资源整合：贵在有效》,《教海探航》2011年2月。
②执教者为湖北黄冈市一位非常优秀的数学教师,用的是课标人教版2007年修订前的教材。
①严士健,张奠宙,王尚志：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第24～25页。
①严士健,张奠宙,王尚志：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社,2004年版,第73～74页。
①吕世虎：《中国当代中学数学课程发展的历程及其启示》,东北师范大学博士学位论文,2009年5月。
②林群主编：《义务教育课程标准实验教科书·数学七年级上册》,北京：人民教育出版社2007年版,目录。
③马复主编：《义务教育课程标准实验教科书·数学七年级上册》,北京：北京师范大学出版社,2008年版,目录。
①本人曾参与的国家社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”文本比较研究(初中数学部分)。
②人民教育出版社中学数学课程教材研究开发中心编：义务教育课程标准实验教科书(人教版)数学(七～九年级)教师培训手册。
①李海东：国家社科基金“十一五”规划国家课题“新课改后各类教材特点的比较研究”子课题“新课改后中学数学教材的比较研究”文本比较研究(初中数学部分)研究成果。
①石中英著：《教育哲学》,北京：北京师范大学出版社,2007年版,第157页。
②石中英著：《教育哲学》,北京：北京师范大学出版社,2007年版,第159～160页。
③[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第63页。
④曹才翰,章建跃：《中学数学教学概论》(第二版),北京：北京师范大学出版社,2008年版,第378-379页。
⑤[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第63页。
①[荷兰]弗赖登塔尔著,刘意竹,杨刚等译：《数学教育再探》,上海：上海教育出版社,1999年版,第65页。
②中华人民共和国教育部制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年版,第80页。
③严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第300页。
①[荷]弗赖登塔尔,陈昌平等编译：《作为教育任务的数学》,上海：上海教育出版社1995年版,第92页。
①黄兴丰,程龙海译,《课本和课堂中数学对话的历史》,《数学教学》2002年第6期。
②[英]戴维·伯姆著,王松涛译：《论对话》,北京：教育科学出版社,2004年版,译丛总序第7页。
①[英]戴维·伯姆著,王松涛译：《论对话》,北京：教育科学出版社,2004年版,第35页。
②[苏]尤·克·巴班斯基,吴文侃等译：《论教学过程最优化》,北京：教育科学出版社,1982年版,第84页。
①钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
②钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
③严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第301页。
④[日]佐藤学著,钟启泉译：《学习的快乐——走向对话》,北京：教育科学出版社2004年版,第38-39页。
①郑毓信：《走进数学思维(一)：从数学抽象谈起》,《小学教学(数学版)》,2008年第5期。
②孙延洲,崔小平：《构建美的数学课堂》,《中学数学》2007年第1期。
①和学新,焦燕灵：《试论表达的教育学意义及实现》,《教育研究》,2006年第9期。
①靖国平著：《教育的智慧性格》,武汉：湖北教育出版社,2004年版,第40页。
②邹广文,崔唯航：《从现成到生成——论哲学思维方式的现代转换》,《清华大学学报(哲学社会科学版)》,2003第2期。
③董林伟：《倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径》,《数学通报》,2009年第9期。
①钟启泉：《对话与文本：教学规范的转型》,《教育研究》,2001年第3期。
①徐艳斌编著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社,2001年版,第120-121页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第17页。
③[美]S.E.斯通普夫,J.菲泽著,匡宏,邓晓芒等译：《西方哲学史》,北京：世界图书出版公司,2009年版,第6页。
①刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
②徐艳斌编著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社,2001年版,第122页。
①谢平：《谈“中国的数学问题解决”中的若干问题》,《中学数学月刊》,2000年第4期。
②谢平：《谈“中国的数学问题解决”中的若干问题》,《中学数学月刊》,2000年第4期。
③王兄：《数学问题解决研究述评》,《广西师范大学学报》,2000年第1期。
④张奠宙,宋乃庆主编：《数学教育概论》,北京：高等教育出版社,2004年版,第271页。
⑤朱德全：《数学问题解决的表征及元认知开发》,《教育研究》,1997年第3期。
①吴文俊院士继承和发展了中国古代数学和算法化思想,开创了崭新的数学机械化领域,建立了用计算机证明几何定理的“吴方法”,是国际自动推理界先驱性工作。见张孝达等选编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第98-124页。
①张孝达等选编：《数学大师论数学教育》,杭州：浙江教育出版社,2007年版,第124页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第18页。
①中华人民共和国制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年版,第7页。
②聂必凯等著：《美国现代数学教育改革》,北京：人民教育出版社,2010年版,第18～19页。
③任子朝：《谈数学教育中的“问题解决”》,《数学通报》,1988年第3期。
①徐艳斌著：《数学教育展望》,上海：华东师范大学出版社2001年版,第128页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①周小川：《美国数学课程标准中“问题解决”的变化及启示》,《课程·教材·教法》,2007年第4期。
①周小川：《美国数学课程标准中“问题解决”的变化及启示》,《课程·教材·教法》,2007年第4期。
①刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①刘兼主编：《21世纪中国数学教育展望②》,北京：北京师范大学出版社,1995年版,第163页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
①顾泠沅,易凌峰,聂必凯编著：《寻找中间地带——国际数学教育改革的大趋势》,上海：上海教育出版社2003年版,第86页。
②陈德峰,《创造型教师的素质构成与培养刍议》,《黑龙江高教研究》,2002年第4期。
③单尊：《数学是思维的科学》,《数学通报》,2001年第6期。
④这一观点与我国现在推行的高中数学课程改革观念相符,高中数学课程分为必修和选修课程,其中选修系列1是为准备在人文、社会科学发展方向的学生设置的,选修系列2是为理工、经济方面发展学生设置的,选修系列3和系列4是为所有学生进一步拓展或提高数学素养设置的。
⑤葛军：《试论数学教育意义下的“生长”》,《数学教育学报》,2008年第3期。
①陶维林：《数学教学是思维的教学——听课有感》,《数学通报》,2008年第3期。
②张孝达等编：《数学大师论数学教育》,北京：人民教育出版社,2007年版,第60页。
①邱崇光：《对我国教育技术学科研现状的冷思考——从“教学结构”与“教学模式”争论谈起》,《电化教育研究》,2004年第7期。
②涂荣豹,宋晓平：《中国数学教学的若干特点》,《课程·教材·教法》,2006年第2期。
①这个例子我在多个地方引用过,引起了不少数学教师的认真思考。我们在定势思维的影响下,往往考虑的都是直线剪后再分类的问题,殊不知还可以对线进行分类。
①张奠宙,竺仕芬,林永伟：《“基本数学经验”的界定与分类》,《数学通报》,2008年第5期。
②中华人民共和国制定：《义务教育数学课程标准》(2011年版),北京：北京师范大学出版社,2011年版,第42页。
①黄兴丰编译：《美国数学家与数学教育家之间的一场数学战争》,《数学教学》,2006第7期。
②其实数学考试也是可以促进数学学习的,华南师范大学何小亚教授就鼓励数学考试给学生高分,让学生感受到成功的信心。
①裴光亚：《从教学中的问题看老师的知识高度》,《中学数学教学参考》,2008年第5期。
①曹才翰,章建跃著：《中学数学教育概论》,北京：北京师范大学出版社,2008年版,第137页。
②[苏]克鲁捷茨基：《中小学生数学能力心理学》,上海：上海教育出版社,1983年版,第87页。
①汤服成,何文林：《中学生数学元认知知识的调查研究》,《数学教育学报》,2009年第6期。
①张伟平：《TIMSS测试的认知诊断评价标准下中美学生数学能力比较》,《数学教育学报》,2010年第4期。
②徐建星,罗燕,李水仙：《漫话数学课改现状与趋势——追寻中国特色的数学教育》,《数学教育学报》,2010年第8期。
①张祎：《数学思维在初中数学教学中的培养》,河北师范大学硕士学位论文,2006年。
②吴晓静,傅岩：《智慧课堂教学的基本理念》,《教育探索》,2009年09期。
①齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第17页。
②齐民友著：《数学与文化》,大连：大连理工大学出版社,2008年版,第1页。
①崔允漷主编：《有效教学》,上海：华东师范大学出版社,2009年版,第244～245页。
①施良方,崔允漷主编：《教学理论课堂教学的原理、策略与研究》,上海：华东师范大学出版社,1999年版,第335-338页。
① Hambleton R K. Advances in Assessment Models and Practices [A]. In:Berliner D C, Calfee R C. Handbook of Educational Psychology [C]. New York:Simon & Schunster Macmillan,1996.
②[美]Ellen Weber著,国家基础教育课程改革“促进教师发展与学生成长的评价研究”项目组译：《有效的学生评价》,北京：中国轻工业出版社,2003年版,第9页。
③[美IW.James Ponham著.国家基础教育课程改革“促讲教师发展与学牛成长的评价研究”项目组译：促讲教学的课堂评价》,北京：中国轻工业出版社,2003年版,第136页。
④刘岗：《数学学习评价策略研究》,西北师范大学博士学位论文,2007年,第74～77页。
①崔允漷主编：《有效教学》,上海：华东师范大学出版社,2009年版,第260页。
②孙晓天：《数学新课程散论》,《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学2002》(刘兼,孔企平主编),北京：北京师范大学出版社,2002年版,第31页。
①涂艳国主编：《教育评价》,北京：高等教育出版社,2007年出版,第211页。
②张春莉：《应用成长记录袋评价的理念与方法问答》,《新世纪基础教育课程改革实践与探索·数学2002》(刘兼,孔企平主编),北京：北京师范大学出版社,2002年版,第41页。
①本案例选自武汉市任家路中学吴四新老师。
①李彬：《学生发展的理性思考》,《当代青年研究》,2004年第4期。
②叶奕乾,祝蓓里主编：《心理学》,上海：华东师范大学出版社,1988年版,第235页。
①中华人民共和国教育部制订：《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》,北京：北京师范大学出版社,2001年,第6页。
②曹一鸣：《数学教育价值观的嬗变与重构》,《教育研究》,2005年第12期。
③[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第103页。
④[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第3页。
⑤[美]M·克莱因著,张祖贵译：《西方文化中的数学》,上海：复旦大学出版社,2009年版,第3页。
①[美]M·克莱因著,李宏魁译：《数学：确定性的丧失》,长沙：湖南科学技术出版社,2007年版,第465页。
②贾宏燕：《教育过程是促进学生个性发展的过程》,《山西师范大学学报》,2000年第2期。
①国家环保局：《我们共同的未来》,北京：世界知识出版社,1989年版,第3页。
②刘元宗：《数学问题解决及其教学》,《课程·教材·教法》,2004年第2期。
③曹一鸣：《数学教学模式的重构与超越》,南京师范大学2003年博士论文。
④严士健,张奠宙,王尚志主编：《普通高中数学课程标准(实验)解读》,南京：江苏教育出版社2004年版,第341页。
⑤教育部师范教育司组编：《张思明与数学课师学习》,北京：北京师范大学出版社,2006年版,第69-70页。
①杨江波：《旧金山的金门大桥》,《青年博览》,2009年第6期。
①孙云晓著：《教育的秘诀是真爱》,北京：华语教学出版社2007年版,第336页～337页。
②白改平,杨光伟：《美国数学课程改革的特点及其启示》,《外国中小学教育》,2008年第7期。
①黄全愈著：《素质教育在美国》,广州：广东教育出版社,1999年版,第30页。
②中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》(2011年版),北京师范大学出版社,2001年版,第2页。
③上官子木著：《创造力危机》,上海：华东师范大学出版社,2004年版,第33页。
①桑新民：《呼唤新世纪的教育哲学》,北京：教育科学出版社1993年4月,第116页。
②帕特里克·斯莱特里著,徐文彬,孙玲译：《后现代时期的课程发展》,广西师范大学出版社,2007年版,第112页。
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143.叶澜著：《教育概论》,人民教育出版社2006年版。
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145.叶澜主编：《新基础教育探索性研究报告集》,上海三联书店1999年版。
146.杨春鼎著：《形象思维学》,中国科学技术出版社1997年版。
147.杨启亮著：《困惑与抉择——20世纪的新教学论》,山东教育出版社1995年版。
148.杨雁斌著：《创新思维法》,：华东理工大学出版社1999年版。
149.姚利民著：《有效教学论：理论与策略》,湖南大学出版社2005年版。
150.喻平著：《数学学习心理的GPFS结构理论》,广西教育出版社2008年版。
151.阎立钦主编：《创新教育——面向21世纪我国教育改革与发展的抉择》,教育科学出版社1999年版。
152.张大均著：《教育心理学》,人民教育出版社1999年版。
153.张德诱著：《创造性思维的发展与教学》,湖南师范大学出版社1990年版。
154.张楚廷著：《课程与教学哲学》,人民教育出版社2003年版。
155.张楚廷著：《数学与创造》,大连理工大学出版社2008年版。
156.张奠宙著：《中国数学双基教学》,上海：上海教育出版社2006年版。
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