高中生的算法理解水平及其教学策略研究
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摘要
21世纪的数学发生了巨大的变化,其中之一是数学与计算机科学的同步发展。一方面,算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算理论、计算机技术和理论的基础,其对计算机科学发展的作用是毋庸置疑的。另一方面,计算机的应用离不开程序设计,程序设计即是算法设计,计算机科学的飞速发展对算法的发展起了极大的推动作用。
算法进入高中数学课程,既体现了中国古代数学的特征,又反映了时代的要求,符合国际化趋势。算法的教与学策略、学生理解算法的水平等方面内容,都备受关注。国内外的数学课程都重视对算法的理解,但对算法理解的层次性研究一直相对薄弱,大多都是重思辨而轻实证。因此,本文以高中生对算法理解的水平作为主要课题,进行比较系统的实验研究。
实验是基于算法理解水平的测查工具,主要通过文献分析法、课堂观察法、访谈法和问卷法做了五个方面的工作。第一是利用SOLO分类原理进行算法理解评价,初步探析了学生在算法概念、算法结构和程序语句的最低结构、多元结构、关联结构和拓展抽象结构上的理解水平。第二是考察了学生算法理解水平的总体分布情况。第三是探究了学校、年级和性别对算法理解水平的影响。第四是说明了学生在理解算法中出现的主要错误。第五是提出了促进算法理解的教学策略。
通过研究,得到以下主要结论：
(1)学生在算法理解的水平上总体存在一定的差异。总体来看,学生在算法特征、思想、应用的三个维度的理解水平差异不大,算法意义理解水平明显低于前三个维度；学生在各算法结构概念理解水平较低,在算法结构功能和应用理解水平高；学生在算法语句的理解水平上总体偏低。其中,对输入、输出和赋值语句的理解明显高于循环语句、条件语句各结构水平的理解,语句功能和语句格式的理解水平明显高于伪代码描述和伪代码书写的理解水平。
(2)学生对算法概念的理解水平并不一定随着年龄的增长而自然提高。学生在算法意义、算法特征、算法应用三个维度的理解水平随年级越高理解水平越高,但是,高三年级学生在算法思想上的理解水平最低,相对比较弱；不同年级的学生在算法结构理解上具有以下显著特点,高三年级学生对算法结构的理解程度在各个维度均明显优于高一、高二学生；年级越高算法语句功能及格式理解水平越高,而伪代码书写及描述方面的理解相对地随年级越高理解水平反而较低。
(3)学校对算法概念理解水平的影响在四个维度上具有不同的结果：在算法意义、特征、应用三个维度上,城市学校B学生的理解水平明显高于农村学校C和县城学校K,而C、K两校差异不大；在算法思想理解水平方面,B、C、K三校学生的理解水平旗鼓相当；整体上看,B校学生在算法结构理解上相对C、K两校有显著优势,但在算法结构判别、算法结构概念理解上差异并不显著；而C、K两校的学生在各方面的理解水平均无显著差异；学生不同学校间算法语句的理解在语句功能维度、语句格式维度上均存在显著性差异,主城区B学校在各算法的这两个维度上得分均有显著优势,理解水平比区县K学校和农村C学校都高,其他各变量差距均不显著。
(4)女生在算法意义、算法特征、算法思想的理解水平相对男生较高,而男生在算法应用理解上更有优势。男女对算法结构和算法语句的理解不存在显著性差异。
在研究的基础上,提出了促进学生算法理解的教学策略。促进算法概念理解的直面错误概念,引发认知冲突策略,促进算法思想理解的渗透式策略,促进算法结构理解的直观教学策略和探究教学策略,促进算法语句理解的比较教学策略。进而,提出对课程标准修订的建议,合理确定理解的层次,本研究对理解水平的界定和描述,即可以作为一个参考；对教材修改建议,调整内容的安排顺序和呈现方式。对教师的建议,提升自身对算法的理解水平；注意教学策略的选取；处理好数学中的算法与计算机中的算法之间的关系；关注学生错误理解的原因。
本研究的拟创新之处在于：在国内首先比较系统地研究了高中生对算法的理解,并用SOLO理论给出了算法理解的水平层次；提出了促进算法理解相应的教学策略。其意义在于为我国高中算法教学的科学研究以及数学教育的教学实践提供参考,还有利于课程标准修订确立合理的课程目标、教学目标,实施有效的教与学。另外,这些研究结论能够充实和完善国内数学教学理论的框架和内容提供服务和参考。
Great changes have taken place on mathematics in the twenty-first Century, one of which is the synchronous development of mathematics and computer science. On the one hand, the algorithm is an important part of mathematics and its applications, as well as the basis of computing theory, computer technology and computer theory. Its impact on the development of computer science is beyond doubt. On the other hand, the application of the computer is inseparable from the program design which is equal to the algorithm design. The rapid development of the computer science has played a great role in promoting the development of algorithm.
It is not only embodies the characteristics of the ancient Chinese mathematics, but also reflects the requirement of the times, in line with international trends, that the algorithm is absorbed into the high school mathematics curriculum. Teaching and learning strategies of Algorithm, students'level of interpretation of the algorithm etc. are of greatest concern. Mathematics curriculum, whatever domestic or abroad, have paid much attention to the interpretation of algorithm, but the studies of interpreting level of algorithm has been relatively weak, most of which attaches importance to speculation rather than verification. Therefore, this paper takes the high school students' interpreting level of algorithm as the main subject, to research systematically.
Based on the test tool to interpreting level of algorithm, the research work unfolded mainly through literature analysis, classroom observation, interview and questionnaire. The first is to use SOLO classification principle to evaluate the algorithm, meanwhile preliminarily analyze students'interpreting level of the concept, structure and program language of algorithm in the minimum structure, multiple structure, relational structure and extended structure. The second is to examine the overall distribution on students' interpreting level of algorithm. The third is to research the effects on the interpreting level of the algorithm, according to school, grade and gender.The fourth is to elaborate the main errors students make in understanding algorithm. The fifth is to put forward the teaching strategy to promote algorithm understanding.
(1) Students vary in interpreting level of algorithm. Overall, students have few differences in interpreting level of three dimensions including its feature, thought and application, while of the significance is lower than the first three dimensions; students have lower interpreting level in the conception of algorithm structure, but higher in its function and application; students'comprehension level in arithmetic sentence is low in general. Among them, the comprehension of input, output and algorithmic statements was significantly higher than that of DO statements, conditional statements of each structure. Interpreting level of statement function and statement format is higher than that of pseudo-code description and pseudo-code writing.
(2) For conception of algorithm, students' interpreting level does not necessarily rise with age. In three aspects of meaning, characteristics, and application, students' interpreting level is in proportion with grade. However, of the algorithmic thought, students in senior three stands at the lowest level, which is relatively weak; students from different grades features greatly on the interpretation of algorithm structure, students in senior three have significantly better interpretation of the algorithm structure in various dimensions, than the senior one and senior two; interpreting level of the function and format of algorithmic statement is in proportion to grade, while the pseudo-code writing and description is on the contrary.
(3) Here comes four results on the interpreting level of algorithm according to the influence of school in four dimensions:in three dimensions including meaning, characteristics, and application of the algorithm, students'interpreting level from city school B is obviously higher than that of rural school C and county schools K, meanwhile C and K has little difference; in algorithm thought, B, C and K three schools are level with each other; on the whole, students from B have a significant advantage in interpreting the algorithm structure compared to those from C and K, but not in distinguishing and conception of algorithm structure; and there was no significant difference in the interpreting level of different aspects between students from C and K both; in the dimension of statement function and statement format, there are significant differences between different schools' interpretation of algorithmic statement, that students from school B hold a significant advantage in these two dimensions, at the same time, their interpreting level is higher than those from school K and school C locating in rural areas; the gap between other variables were not significant.
(4) Girls have relative higher interpreting level than boys in the meaning, characteristics and thought of algorithm, while boys have an edge over girls in algorithm application. Interpretation of the algorithm structure and algorithm statement does not show gender discrimination.
On the basis of the research, the teaching strategy to promote algorithm understanding is put forward to promote conceptual change strategy, penetration strategy thought understanding, the algorithm structure understanding teaching strategy and the comparison algorithm statement of understanding. Then, advised amendments to the curriculum standard is proposed, as well as a reasonable level of understanding based on the definition and description level of understanding in this study., teachers are provided with more curriculum resources in the form of suggestions on teaching materials, adjusting the order and presentation. Suggestions for teachers will improve their understanding of the algorithm level and help them pay attention to the selection algorithm case, deal better with the relationship in algorithm and find out the reason for the misunderstanding of students.
The innovation of this research lies as follows. First, it is a systematic research on the understanding of the algorithm level of middle school students, constructing the algorithm level survey tool, and it use solo theory to give evaluation to algorithm. Strategies to promote the understanding level are proposed as well as corresponding teaching strategies. Its significance lies in providing reference for algorithm teaching in senior high schools in China and for scientific research and mathematical teaching practice. It also helps to establish reasonable curriculum standards and objectives for teaching, it also contribute to the implementation of effective teaching and learning. In addition, the conclusion of the study can enrich and provide service and reference to perfect the domestic mathematic theories and contents at present.
算法进入高中数学课程,既体现了中国古代数学的特征,又反映了时代的要求,符合国际化趋势。算法的教与学策略、学生理解算法的水平等方面内容,都备受关注。国内外的数学课程都重视对算法的理解,但对算法理解的层次性研究一直相对薄弱,大多都是重思辨而轻实证。因此,本文以高中生对算法理解的水平作为主要课题,进行比较系统的实验研究。
实验是基于算法理解水平的测查工具,主要通过文献分析法、课堂观察法、访谈法和问卷法做了五个方面的工作。第一是利用SOLO分类原理进行算法理解评价,初步探析了学生在算法概念、算法结构和程序语句的最低结构、多元结构、关联结构和拓展抽象结构上的理解水平。第二是考察了学生算法理解水平的总体分布情况。第三是探究了学校、年级和性别对算法理解水平的影响。第四是说明了学生在理解算法中出现的主要错误。第五是提出了促进算法理解的教学策略。
通过研究,得到以下主要结论：
(1)学生在算法理解的水平上总体存在一定的差异。总体来看,学生在算法特征、思想、应用的三个维度的理解水平差异不大,算法意义理解水平明显低于前三个维度；学生在各算法结构概念理解水平较低,在算法结构功能和应用理解水平高；学生在算法语句的理解水平上总体偏低。其中,对输入、输出和赋值语句的理解明显高于循环语句、条件语句各结构水平的理解,语句功能和语句格式的理解水平明显高于伪代码描述和伪代码书写的理解水平。
(2)学生对算法概念的理解水平并不一定随着年龄的增长而自然提高。学生在算法意义、算法特征、算法应用三个维度的理解水平随年级越高理解水平越高,但是,高三年级学生在算法思想上的理解水平最低,相对比较弱；不同年级的学生在算法结构理解上具有以下显著特点,高三年级学生对算法结构的理解程度在各个维度均明显优于高一、高二学生；年级越高算法语句功能及格式理解水平越高,而伪代码书写及描述方面的理解相对地随年级越高理解水平反而较低。
(3)学校对算法概念理解水平的影响在四个维度上具有不同的结果：在算法意义、特征、应用三个维度上,城市学校B学生的理解水平明显高于农村学校C和县城学校K,而C、K两校差异不大；在算法思想理解水平方面,B、C、K三校学生的理解水平旗鼓相当；整体上看,B校学生在算法结构理解上相对C、K两校有显著优势,但在算法结构判别、算法结构概念理解上差异并不显著；而C、K两校的学生在各方面的理解水平均无显著差异；学生不同学校间算法语句的理解在语句功能维度、语句格式维度上均存在显著性差异,主城区B学校在各算法的这两个维度上得分均有显著优势,理解水平比区县K学校和农村C学校都高,其他各变量差距均不显著。
(4)女生在算法意义、算法特征、算法思想的理解水平相对男生较高,而男生在算法应用理解上更有优势。男女对算法结构和算法语句的理解不存在显著性差异。
在研究的基础上,提出了促进学生算法理解的教学策略。促进算法概念理解的直面错误概念,引发认知冲突策略,促进算法思想理解的渗透式策略,促进算法结构理解的直观教学策略和探究教学策略,促进算法语句理解的比较教学策略。进而,提出对课程标准修订的建议,合理确定理解的层次,本研究对理解水平的界定和描述,即可以作为一个参考；对教材修改建议,调整内容的安排顺序和呈现方式。对教师的建议,提升自身对算法的理解水平；注意教学策略的选取；处理好数学中的算法与计算机中的算法之间的关系；关注学生错误理解的原因。
本研究的拟创新之处在于：在国内首先比较系统地研究了高中生对算法的理解,并用SOLO理论给出了算法理解的水平层次；提出了促进算法理解相应的教学策略。其意义在于为我国高中算法教学的科学研究以及数学教育的教学实践提供参考,还有利于课程标准修订确立合理的课程目标、教学目标,实施有效的教与学。另外,这些研究结论能够充实和完善国内数学教学理论的框架和内容提供服务和参考。
Great changes have taken place on mathematics in the twenty-first Century, one of which is the synchronous development of mathematics and computer science. On the one hand, the algorithm is an important part of mathematics and its applications, as well as the basis of computing theory, computer technology and computer theory. Its impact on the development of computer science is beyond doubt. On the other hand, the application of the computer is inseparable from the program design which is equal to the algorithm design. The rapid development of the computer science has played a great role in promoting the development of algorithm.
It is not only embodies the characteristics of the ancient Chinese mathematics, but also reflects the requirement of the times, in line with international trends, that the algorithm is absorbed into the high school mathematics curriculum. Teaching and learning strategies of Algorithm, students'level of interpretation of the algorithm etc. are of greatest concern. Mathematics curriculum, whatever domestic or abroad, have paid much attention to the interpretation of algorithm, but the studies of interpreting level of algorithm has been relatively weak, most of which attaches importance to speculation rather than verification. Therefore, this paper takes the high school students' interpreting level of algorithm as the main subject, to research systematically.
Based on the test tool to interpreting level of algorithm, the research work unfolded mainly through literature analysis, classroom observation, interview and questionnaire. The first is to use SOLO classification principle to evaluate the algorithm, meanwhile preliminarily analyze students'interpreting level of the concept, structure and program language of algorithm in the minimum structure, multiple structure, relational structure and extended structure. The second is to examine the overall distribution on students' interpreting level of algorithm. The third is to research the effects on the interpreting level of the algorithm, according to school, grade and gender.The fourth is to elaborate the main errors students make in understanding algorithm. The fifth is to put forward the teaching strategy to promote algorithm understanding.
(1) Students vary in interpreting level of algorithm. Overall, students have few differences in interpreting level of three dimensions including its feature, thought and application, while of the significance is lower than the first three dimensions; students have lower interpreting level in the conception of algorithm structure, but higher in its function and application; students'comprehension level in arithmetic sentence is low in general. Among them, the comprehension of input, output and algorithmic statements was significantly higher than that of DO statements, conditional statements of each structure. Interpreting level of statement function and statement format is higher than that of pseudo-code description and pseudo-code writing.
(2) For conception of algorithm, students' interpreting level does not necessarily rise with age. In three aspects of meaning, characteristics, and application, students' interpreting level is in proportion with grade. However, of the algorithmic thought, students in senior three stands at the lowest level, which is relatively weak; students from different grades features greatly on the interpretation of algorithm structure, students in senior three have significantly better interpretation of the algorithm structure in various dimensions, than the senior one and senior two; interpreting level of the function and format of algorithmic statement is in proportion to grade, while the pseudo-code writing and description is on the contrary.
(3) Here comes four results on the interpreting level of algorithm according to the influence of school in four dimensions:in three dimensions including meaning, characteristics, and application of the algorithm, students'interpreting level from city school B is obviously higher than that of rural school C and county schools K, meanwhile C and K has little difference; in algorithm thought, B, C and K three schools are level with each other; on the whole, students from B have a significant advantage in interpreting the algorithm structure compared to those from C and K, but not in distinguishing and conception of algorithm structure; and there was no significant difference in the interpreting level of different aspects between students from C and K both; in the dimension of statement function and statement format, there are significant differences between different schools' interpretation of algorithmic statement, that students from school B hold a significant advantage in these two dimensions, at the same time, their interpreting level is higher than those from school K and school C locating in rural areas; the gap between other variables were not significant.
(4) Girls have relative higher interpreting level than boys in the meaning, characteristics and thought of algorithm, while boys have an edge over girls in algorithm application. Interpretation of the algorithm structure and algorithm statement does not show gender discrimination.
On the basis of the research, the teaching strategy to promote algorithm understanding is put forward to promote conceptual change strategy, penetration strategy thought understanding, the algorithm structure understanding teaching strategy and the comparison algorithm statement of understanding. Then, advised amendments to the curriculum standard is proposed, as well as a reasonable level of understanding based on the definition and description level of understanding in this study., teachers are provided with more curriculum resources in the form of suggestions on teaching materials, adjusting the order and presentation. Suggestions for teachers will improve their understanding of the algorithm level and help them pay attention to the selection algorithm case, deal better with the relationship in algorithm and find out the reason for the misunderstanding of students.
The innovation of this research lies as follows. First, it is a systematic research on the understanding of the algorithm level of middle school students, constructing the algorithm level survey tool, and it use solo theory to give evaluation to algorithm. Strategies to promote the understanding level are proposed as well as corresponding teaching strategies. Its significance lies in providing reference for algorithm teaching in senior high schools in China and for scientific research and mathematical teaching practice. It also helps to establish reasonable curriculum standards and objectives for teaching, it also contribute to the implementation of effective teaching and learning. In addition, the conclusion of the study can enrich and provide service and reference to perfect the domestic mathematic theories and contents at present.
引文
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[43]周恩超.高中新课程“算法初步”学与教问题的相关研究[D].华东师范大学硕士学文论文,2006：4,8,55
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[66]陈碧芬.数学教育现代化的内涵与实施途径——兼评《文化传统与数学教育现代化》[J],高等理科教育2010(2)：30-33
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