基于ANSYS软件的接触问题分析及在工程中的应用
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摘要
近年来,随着电子计算机的广泛应用,带动了其他各个技术领域的飞速发展。有限单元法也是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它利用电子计算机进行数值模拟分析,目前在工程技术领域中的应用十分广泛,有限元计算结果为各类工业产品设计和性能分析提供了可靠依据。ANSYS软件正是目前国际上著名的通用有限元软件之一。
ANSYS用户涵盖了机械.航空航天.能源.交通运输.土木建筑.水利.电子.地矿.生物医学.教学科研等众多领域。ANSYS是这些领域进行国际国内分析设计技术交流的主要分析平台。从工程应用的角度来讲，它包括结构静力分析.结构动力分析.屈曲分析.非线性分析.以及热分析等，而ANSYS软件中的接触单元分析正是一种高度的非线性分析。
接触问题由于是一种高度的非线性行为，故需要较大的计算资源。为了进行实为有效的计算，理解问题的特性和建立合理的模型是很重要的。在普通的有限元结构分析中，只有对结构或构件完全约束后，才能进行求解运算。因此，对于含有接触问题的几个结构体进行分析计算时，就需要对计算的结构件之间的接触表面进行简化，只能用边界力和约束来代替与其它构件的相互作用。在大多数的场合下，这种简化与实际应用情况相差很大，会带来很大的计算误差。为了消除这种计算误差，出现了有限元接触分析方法。有限元接触分析就是把有限元和接触力学理论相结合而形成的方法。而ANSYS中的接触单元分析方法就是一种有限元接触分析方法。
在本文中，首先简要的阐述了本研究课题所涉及的范围，接触单元分析的理论基础及与有限单元法的关系，ANSYS中接触单元分析特点及进行接触分析时所遇到的几个常见问题。
第二章以《弹性力学》理论为基础，详细地介绍了接触单元理论，导出了两个球体之间的接触压力及由此引起的应力和变形，给出了球体与平面相接触.球体与球座相接触的计算方法，同时，对于两任意弹性体接触的讨论，得到了接触面上压力分布的公式。
第三章主要介绍了ANSYS中的接触单元用法，讲了有限元的基本知
识和典型分析步骤；对ANSYS 软件进行了简单的介绍；重点阐述了在ANSYS中如何应用接触单元来分析问题，接触问题分为两种基本类型：刚体─柔体的接触，柔体─柔体的接触，在给接触问题建模时，首先必须认识到模型中的哪些部分可能会相互接触，如果相互作用的其中之一是一点，模型的对应组元是一个结点。如果相互作用的其中之一是一个面，模型的对应组元是单元，有限元模型通过指定的接触单元来识别可能的接触对，接触单元是覆盖在分析模型接触面之上的一层单元，ANSYS使用的接触单元有点─点接触单元.点─面接触单元.面─面接触单元，本文对这三种接触单元的分析方法和分析步骤都做了介绍。
第四章详细讨论了接触问题分析在工程中的应用，给出了弹簧卡子在插入和拉出卡座全过程中应力的变化情况；对双耳铰支座进行了三种情况—采用不同的单元类型.轴采用不同直径.轴有公差和无公差的讨论，给出了接触面上的应力值；对半瓦铰支座计算了两种不同工况—受扭和受压时的接触面应力；起重机车轮与平面轨道接触应力，并给出了铰支座与轮压问题的理论设计公式，以便作为检验用ANSYS所得分析结果的一个参考。
第五章根据以上所计算的工程实例，对接触单元用法作了总结，如下：
1.在对弹簧卡子进行有限元接触分析时，把三维问题当作二维问题来处理，计算模型作为平面应力计算，这虽与实际上的三维模型不同但符合其实际的受力特点。在本例中又考虑了摩擦的影响，摩擦本身就使非线性分析的收敛变得困难，所以用这样的处理方法是合理的且满足精度要求。
2.建立复杂的三维几何模型时，由于ANSYS软件不是一个专门的建模软件，建议对各部分零件采用专门的建模软件（Solidworks2001）建模，然后，利用两种软件的共同接口将各部分模型导入ANSYS，再将模型文件合并即可。
3.几何模型的产生.单元类型的选择.网格的疏密等对计算结果都是有影响的，本文比较计算了双耳铰支座采用不同的单元类型（Solid45.Solid95）计算结果，发现在接触问题分析中，用Solid95这种单元类型所计算的结果不理想，故不建议采用Solid95这种单元类型，因为此种单元类型带有中结点，而在中结点处无法生成接触单元。
4.接触区域的确定.接触面的选择对计算结果的影响非常重要，
因为在计算之前，并不知道那些面是接触的.那些面是分开的；另外，在对两个面作接触时，应尽量保持其大小一致，如较大面与较小面接触，也会产生计算结果误差。
5.在对轴有公差和无公差的计算中发现，法向接触刚度对计算结果也会产生影响。因此，需要不断地调整法向接触刚度，使计算结果更趋于合理，避免法向接触刚度过大或过小。
6.本文计算了两种不同的铰支座在不同工况下的接触应力情况，所得计算结果与理论设计值接近，其误差在10%左右，这是因为在ANSYS中计算的结果，由于有几何模型的产生.单元类型的选择.网格疏密程度等因素的影响，其计算结果必然存在着一定的误差，这种误差在工程中是允许的，故而本文所得计算结果对工程实际具有一定的参考价值。
7.在对车轮轮压的计算中发现，车轮受压后横截?
In recent years, along with the extensive application of the computer, invoke the other each technique field to develop rapidly. Finite Element Method (FEM) is a modern computational technique to develop rapidly with the development of the computer, FEM can process numerical simulation analysis using computer, it is applied extensively in engineering field, the result of FEM analysis provided reliable data for the design and capability analysis of various industry product. ANSYS is one of the most international famous software.
The customers of ANSYS come from machine, aviation , energy sources, traffic, construction, water conservancy, electronics, ground mineral, biology medicine, teaching study fields etc., ANSYS is the main analysis program which is used in these fields to proceed exchanges of the international domestic analysis and the technique design. At the point of the engineering application, it includes the construction static analysis, construction dynamic analysis, flexuosity analysis, and thermal analysis etc. The contact element analysis of ANSYS is exactly a kind of high nonlinear analysis.
As the contact problem is a kind of high nonlinear behavior, it needs great computational resources. In order to compute effectively, it is important to comprehend the characteristic of the problem and establish the reasonable model. Only the frame or the component is constrained completely can the problem be solved. Therefore, it is need to simplify the contact surface of the components by the application of the boundary force and displacement instead of the interaction with others when we encounter the contact problem which includes several components. But in most situations, this simplification gives more calculation errors when it is compared with the fact. To avid this computational error, it comes forth finite contact elements
analysis method. The method is combination of FEM and the theory of contact mechanics. The contact element analysis of ANSYS is a kind of FEM contact analysis.
In this paper, firstly it introduced the scope that is involved in this study subject briefly. It also presented the relationship of the basic theory of contact elements analysis and FEM method, the analysis character of contact elements in ANSYS and several common problems when we proceed the contact analysis.
Chapter Two is based on the theory of 《Elasticity Mechanics》, and introduced the theory of contact elements in detail. The formulation for the contact force between two spheres and the stress and displacement which is caused because of the contact force is also derived. The calculation method of the contact of sphere and plane, sphere and tee is given .At the same time, the formulation for the force distribution of the contact surface is established on the discussion of two arbitary elastomer's contact.
The main aim of Chapter There is to introduce the use of contact elements in ANSYS, the basic knowledge and typical analysis steps of FEM. It also introduced the software of ANSYS briefly, but the emphasis of this chapter is to present how to analyze problems by application of contact elements with ANSYS. Contact problems fall into two general class: rigid-to-flexible and flexible-to- flexible. To model a contact problem, you first identify the parts to be analyzed for their possible interaction. If one of the interactions is at a point, the corresponding component of your model is a node. If one of the interactions is at a surface, the corresponding component of your model is an element. The finite element model recognize possible contact pairs by the presence of specific contact elements. These contact elements are overlaid on the parts of model that are being analyzed for interaction. Contact elements in ANSYS include node-to-node elements, node-to surface elements and surface-to-surface elements. The analysis method and steps of these three contact elements are introduced in this paper.
Chapter four discussed the application of the contact problem analysis in detail. Stress changes when the spr
ANSYS用户涵盖了机械.航空航天.能源.交通运输.土木建筑.水利.电子.地矿.生物医学.教学科研等众多领域。ANSYS是这些领域进行国际国内分析设计技术交流的主要分析平台。从工程应用的角度来讲，它包括结构静力分析.结构动力分析.屈曲分析.非线性分析.以及热分析等，而ANSYS软件中的接触单元分析正是一种高度的非线性分析。
接触问题由于是一种高度的非线性行为，故需要较大的计算资源。为了进行实为有效的计算，理解问题的特性和建立合理的模型是很重要的。在普通的有限元结构分析中，只有对结构或构件完全约束后，才能进行求解运算。因此，对于含有接触问题的几个结构体进行分析计算时，就需要对计算的结构件之间的接触表面进行简化，只能用边界力和约束来代替与其它构件的相互作用。在大多数的场合下，这种简化与实际应用情况相差很大，会带来很大的计算误差。为了消除这种计算误差，出现了有限元接触分析方法。有限元接触分析就是把有限元和接触力学理论相结合而形成的方法。而ANSYS中的接触单元分析方法就是一种有限元接触分析方法。
在本文中，首先简要的阐述了本研究课题所涉及的范围，接触单元分析的理论基础及与有限单元法的关系，ANSYS中接触单元分析特点及进行接触分析时所遇到的几个常见问题。
第二章以《弹性力学》理论为基础，详细地介绍了接触单元理论，导出了两个球体之间的接触压力及由此引起的应力和变形，给出了球体与平面相接触.球体与球座相接触的计算方法，同时，对于两任意弹性体接触的讨论，得到了接触面上压力分布的公式。
第三章主要介绍了ANSYS中的接触单元用法，讲了有限元的基本知
识和典型分析步骤；对ANSYS 软件进行了简单的介绍；重点阐述了在ANSYS中如何应用接触单元来分析问题，接触问题分为两种基本类型：刚体─柔体的接触，柔体─柔体的接触，在给接触问题建模时，首先必须认识到模型中的哪些部分可能会相互接触，如果相互作用的其中之一是一点，模型的对应组元是一个结点。如果相互作用的其中之一是一个面，模型的对应组元是单元，有限元模型通过指定的接触单元来识别可能的接触对，接触单元是覆盖在分析模型接触面之上的一层单元，ANSYS使用的接触单元有点─点接触单元.点─面接触单元.面─面接触单元，本文对这三种接触单元的分析方法和分析步骤都做了介绍。
第四章详细讨论了接触问题分析在工程中的应用，给出了弹簧卡子在插入和拉出卡座全过程中应力的变化情况；对双耳铰支座进行了三种情况—采用不同的单元类型.轴采用不同直径.轴有公差和无公差的讨论，给出了接触面上的应力值；对半瓦铰支座计算了两种不同工况—受扭和受压时的接触面应力；起重机车轮与平面轨道接触应力，并给出了铰支座与轮压问题的理论设计公式，以便作为检验用ANSYS所得分析结果的一个参考。
第五章根据以上所计算的工程实例，对接触单元用法作了总结，如下：
1.在对弹簧卡子进行有限元接触分析时，把三维问题当作二维问题来处理，计算模型作为平面应力计算，这虽与实际上的三维模型不同但符合其实际的受力特点。在本例中又考虑了摩擦的影响，摩擦本身就使非线性分析的收敛变得困难，所以用这样的处理方法是合理的且满足精度要求。
2.建立复杂的三维几何模型时，由于ANSYS软件不是一个专门的建模软件，建议对各部分零件采用专门的建模软件（Solidworks2001）建模，然后，利用两种软件的共同接口将各部分模型导入ANSYS，再将模型文件合并即可。
3.几何模型的产生.单元类型的选择.网格的疏密等对计算结果都是有影响的，本文比较计算了双耳铰支座采用不同的单元类型（Solid45.Solid95）计算结果，发现在接触问题分析中，用Solid95这种单元类型所计算的结果不理想，故不建议采用Solid95这种单元类型，因为此种单元类型带有中结点，而在中结点处无法生成接触单元。
4.接触区域的确定.接触面的选择对计算结果的影响非常重要，
因为在计算之前，并不知道那些面是接触的.那些面是分开的；另外，在对两个面作接触时，应尽量保持其大小一致，如较大面与较小面接触，也会产生计算结果误差。
5.在对轴有公差和无公差的计算中发现，法向接触刚度对计算结果也会产生影响。因此，需要不断地调整法向接触刚度，使计算结果更趋于合理，避免法向接触刚度过大或过小。
6.本文计算了两种不同的铰支座在不同工况下的接触应力情况，所得计算结果与理论设计值接近，其误差在10%左右，这是因为在ANSYS中计算的结果，由于有几何模型的产生.单元类型的选择.网格疏密程度等因素的影响，其计算结果必然存在着一定的误差，这种误差在工程中是允许的，故而本文所得计算结果对工程实际具有一定的参考价值。
7.在对车轮轮压的计算中发现，车轮受压后横截?
In recent years, along with the extensive application of the computer, invoke the other each technique field to develop rapidly. Finite Element Method (FEM) is a modern computational technique to develop rapidly with the development of the computer, FEM can process numerical simulation analysis using computer, it is applied extensively in engineering field, the result of FEM analysis provided reliable data for the design and capability analysis of various industry product. ANSYS is one of the most international famous software.
The customers of ANSYS come from machine, aviation , energy sources, traffic, construction, water conservancy, electronics, ground mineral, biology medicine, teaching study fields etc., ANSYS is the main analysis program which is used in these fields to proceed exchanges of the international domestic analysis and the technique design. At the point of the engineering application, it includes the construction static analysis, construction dynamic analysis, flexuosity analysis, and thermal analysis etc. The contact element analysis of ANSYS is exactly a kind of high nonlinear analysis.
As the contact problem is a kind of high nonlinear behavior, it needs great computational resources. In order to compute effectively, it is important to comprehend the characteristic of the problem and establish the reasonable model. Only the frame or the component is constrained completely can the problem be solved. Therefore, it is need to simplify the contact surface of the components by the application of the boundary force and displacement instead of the interaction with others when we encounter the contact problem which includes several components. But in most situations, this simplification gives more calculation errors when it is compared with the fact. To avid this computational error, it comes forth finite contact elements
analysis method. The method is combination of FEM and the theory of contact mechanics. The contact element analysis of ANSYS is a kind of FEM contact analysis.
In this paper, firstly it introduced the scope that is involved in this study subject briefly. It also presented the relationship of the basic theory of contact elements analysis and FEM method, the analysis character of contact elements in ANSYS and several common problems when we proceed the contact analysis.
Chapter Two is based on the theory of 《Elasticity Mechanics》, and introduced the theory of contact elements in detail. The formulation for the contact force between two spheres and the stress and displacement which is caused because of the contact force is also derived. The calculation method of the contact of sphere and plane, sphere and tee is given .At the same time, the formulation for the force distribution of the contact surface is established on the discussion of two arbitary elastomer's contact.
The main aim of Chapter There is to introduce the use of contact elements in ANSYS, the basic knowledge and typical analysis steps of FEM. It also introduced the software of ANSYS briefly, but the emphasis of this chapter is to present how to analyze problems by application of contact elements with ANSYS. Contact problems fall into two general class: rigid-to-flexible and flexible-to- flexible. To model a contact problem, you first identify the parts to be analyzed for their possible interaction. If one of the interactions is at a point, the corresponding component of your model is a node. If one of the interactions is at a surface, the corresponding component of your model is an element. The finite element model recognize possible contact pairs by the presence of specific contact elements. These contact elements are overlaid on the parts of model that are being analyzed for interaction. Contact elements in ANSYS include node-to-node elements, node-to surface elements and surface-to-surface elements. The analysis method and steps of these three contact elements are introduced in this paper.
Chapter four discussed the application of the contact problem analysis in detail. Stress changes when the spr
引文
1.雷晓燕 “三维接触问题新模型研究” 土木工程学报，1996，29（3）：24～33。
2.简政 刘用暖 李九红 “桩-土三维等厚度接触单元模型及其工作性状” 水利学报 2002年11期
3.博嘉科技编著《有限元分析软件───ANSYS融会与贯通》 中国水利水电出版社
4.陈新 孙庆鸿 毛海军 陈南 “基于接触单元的磨床螺栓连接面有限元建模与模型修正” 中国机械工程 2001年05期
5.蔡中义 李明哲 李广权 “金属成形数值模拟中的接触单元法” 中国机械工程 2000年08期
6.王国强主编 《实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践》 西北工业大学出版社
7.黄祖瑗 耿长青 “有限元动力分析.非线性分析应注意的问题” 机械强度 2000年1月第22卷第2期
8.殷宗泽 朱泓 许国华 “土与结构材料接触面的变形及数学模拟” 岩土工程学报 1994年16期
9.张冬齐 卢延浩 “一种土与结构接触面模型的建立及其应用” [J] 岩土工程学报 1998，20（6）：62～66
10.杜成斌 任青文 “用于接触面模拟的三维非线性接触单元” 东南大学学报（自然科学版）2001年04期
11.“考虑缝隙的接触单元” 昆明冶金高等专科学校 1995年01期
12.Segond,D.; Tafreshi,A. “Stress analysis of
three-dimensional contact problems using the
boundary element method” Engineering
Analysis with Boundary Elements Volume:22,
Issue:3, October,1998, pp.199～214
13.Ezawa,Y.;Okamoto,N. “Development of contact stress analysis programs using the hybrid method of FEM and BEM” Computer & Structure Volume:57, Issue:4, November 17, 1995, pp. 691～698
14.Oden J T, Pires E B. “Nonlocal and Nonlinear Friction laws and Variatonal Principles for Contact problems in Elasticity” J.Appl.Mech., 1983, 50: 67～76
15.Simunovic, S.; Saigal, S. “Contact surface optimization using boundary element method” Computer & Structures Volume: 56, Issue: 5, September, 1995, pp. 745～750
16.Ju,S.H.;Stone,J.J.; Rowlands,R.E.“A new symmetric contact element stiffness matrix for friction contact problems” Computers & Structure Volume:54,Issue:2, January 17, 1995, pp.289～301
17.Lei, Xiaoyan “Contact friction analysis with a simple interface element” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Volume: 190, Issue: 15～17, January 5, 2001, pp.1955-1965
18.雷晓燕 Swobada 杜庆华 “接触摩擦单元的理论及应用” [J] 岩土工程学报 1994年5期：23～32
19.曾丁 黄文彬 华云龙 “库仑摩擦接触问题的位移─力混合接触单元” 中国农业大学学报 1998年02期
20.鲁世强 吴厚钰 “有摩擦有间隙的三维接触问题有限元法及其应用” 应用力学学报 1996，13（2）：56～63。
21.汪召华 高莲士 宋文晶 “三维摩擦接触的有限元分析” 清华大学学报（自然科学版） 2002年
22.吴家龙主编《弹性力学》（第一版） 同济大学出版社
23.赵海燕 曾桂香 刘占臣 王伟 “三维接触元理论及其在水利工程中的应用” 黄河水利职业技术学院学报 2000年02期
24.肖熙 王秀勇 “桶型基础结构与土壤相互作用的有限元无限元接触元耦合线性分析” 海洋工程 2001年03期
25.王秀勇 王泉 张亭健 “有限元无限元接触单元耦合法在桶形基础结构与土壤相互作用分析中的应用” 黄渤海海洋 2000年04期
26.Bille J P, Cescotto S. “Numerical Approach of Contact Using An Augmented Lagrangian Method” Contact Mechanics Plenum Press, New York: 1995, 243～246
27.贺东哲 王元清 李少甫 “管结点承载力的非线性有限元分析”[J]
工程力学，2000，17（4）：50～55
28.钟承奎 王碧祥 “无限维线性系统的有限维接触元” 兰州大学学报 1994年02期
29.刘国明 “连杆接触单元非线性模型及其工程应用” 福州大学学报（自然科学版） 1997年06期
30.吴厚钰 郑润生 向松 “接触问题有限元法及其在汽轮机强度设计中的应用” 西安交通大学学报 1990，20，（5）：79～87
31.徐斌 王大通 高大钊 “群桩沉降验算中接触单元模型及其应用的若干问题”同济大学学报 （自然科学版） 1998年02期
32.黄文华 杨林德 叶为民 “板─土三维等厚接触单元模型及其应用”同济大学学报 （自然科学版） 1999年03期
33.陈开旭 安关峰 鲁亮 “采用有厚度接触单元对桩基沉降的研究” 岩土力学 2000年01期
34.王勖成 邵敏编著《有限单元法基本原理和数值方法》（第二版） 清华大学出版社
35.谭建国编著《使用ANSYS6.0进行有限元分析》 北京大学出版社
36.Zhu Changming “A finite element-mathematical
programming method for elastoplastic contact
problems with friction” Finite elements in
Analysis and Design 1995(20): 273～282
37.Xiaoyu,J.; “Frictional contact analysis of composite materials” Composite Science and Technology Volume:54, Issue:4, 1995, pp.341～348
38.夸克工作室编著《精通Solidworks》 中国青年出版社
39.张银龙“概率设计及其在ANSYS上的实践” IB智能建筑与城市信息 2003年01期
40.王玉琴 “如何在ANSYS中实现自定义梁截面” 陕西工学院学报 2003年02期
41.曾丁 黄文彬 华云龙 “库仑摩擦接触问题的位移─力混合接触单元” 中国农业大学学报 1998年02期
42.刘学增 丁文其 “接触元初始刚度系数对软土深基坑变形的影响分析” 岩土力学与工程学报 2001年01期
43.Sellgren,Ulf; Bjorklund,Stefan;Andersson,Soren “A finite
element –based model of normal contact between rough surfaces” Wear Volume:254, Issue:11, Octorber, 2003, pp. 1180～1188
44.Bjorklund, Stefan “The influence of surface roughness in elliptical contacts” Tribology International Volume:34, Issue:12, December, 2001, pp.841～845
45.陈精一 蔡国忠编著《电脑辅助工程分析ANSYS使用指南》 中国铁道出版社
46.王风丽 宋继良 谭光宇 刘美鹃 “在ANSYS中建立复杂有限元模型” 哈尔滨理工大学学报 2003年02期
47.Al-Dojayli,M.;Meguid,S.A. “Accurate modeling of contact using cubic splines” Finite elements in Analysis and Design Volume:38, Issue:4, February, 2002, pp. 337～352
48.起重机设计手册编写组编 《起重机设计手册》 机械工业出版社
49.章一计 王重华 “起重机滚子夹套示旋转支承装置的轮压计算及防倾覆装置设计” 上海海运学院学报 1997年01期
50.韩连元 王桂云 “武汉港18码头缆车轮压测示及统计分析” 河南科学 1995年03期
51.周士琮 “起重机车轮与轨道的选配” 水利电力施工机械 1997年03期
52.曹平周 “吊车梁的轮压荷载支承长度计算”水利电力施工机械
2.简政 刘用暖 李九红 “桩-土三维等厚度接触单元模型及其工作性状” 水利学报 2002年11期
3.博嘉科技编著《有限元分析软件───ANSYS融会与贯通》 中国水利水电出版社
4.陈新 孙庆鸿 毛海军 陈南 “基于接触单元的磨床螺栓连接面有限元建模与模型修正” 中国机械工程 2001年05期
5.蔡中义 李明哲 李广权 “金属成形数值模拟中的接触单元法” 中国机械工程 2000年08期
6.王国强主编 《实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践》 西北工业大学出版社
7.黄祖瑗 耿长青 “有限元动力分析.非线性分析应注意的问题” 机械强度 2000年1月第22卷第2期
8.殷宗泽 朱泓 许国华 “土与结构材料接触面的变形及数学模拟” 岩土工程学报 1994年16期
9.张冬齐 卢延浩 “一种土与结构接触面模型的建立及其应用” [J] 岩土工程学报 1998，20（6）：62～66
10.杜成斌 任青文 “用于接触面模拟的三维非线性接触单元” 东南大学学报（自然科学版）2001年04期
11.“考虑缝隙的接触单元” 昆明冶金高等专科学校 1995年01期
12.Segond,D.; Tafreshi,A. “Stress analysis of
three-dimensional contact problems using the
boundary element method” Engineering
Analysis with Boundary Elements Volume:22,
Issue:3, October,1998, pp.199～214
13.Ezawa,Y.;Okamoto,N. “Development of contact stress analysis programs using the hybrid method of FEM and BEM” Computer & Structure Volume:57, Issue:4, November 17, 1995, pp. 691～698
14.Oden J T, Pires E B. “Nonlocal and Nonlinear Friction laws and Variatonal Principles for Contact problems in Elasticity” J.Appl.Mech., 1983, 50: 67～76
15.Simunovic, S.; Saigal, S. “Contact surface optimization using boundary element method” Computer & Structures Volume: 56, Issue: 5, September, 1995, pp. 745～750
16.Ju,S.H.;Stone,J.J.; Rowlands,R.E.“A new symmetric contact element stiffness matrix for friction contact problems” Computers & Structure Volume:54,Issue:2, January 17, 1995, pp.289～301
17.Lei, Xiaoyan “Contact friction analysis with a simple interface element” Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering Volume: 190, Issue: 15～17, January 5, 2001, pp.1955-1965
18.雷晓燕 Swobada 杜庆华 “接触摩擦单元的理论及应用” [J] 岩土工程学报 1994年5期：23～32
19.曾丁 黄文彬 华云龙 “库仑摩擦接触问题的位移─力混合接触单元” 中国农业大学学报 1998年02期
20.鲁世强 吴厚钰 “有摩擦有间隙的三维接触问题有限元法及其应用” 应用力学学报 1996，13（2）：56～63。
21.汪召华 高莲士 宋文晶 “三维摩擦接触的有限元分析” 清华大学学报（自然科学版） 2002年
22.吴家龙主编《弹性力学》（第一版） 同济大学出版社
23.赵海燕 曾桂香 刘占臣 王伟 “三维接触元理论及其在水利工程中的应用” 黄河水利职业技术学院学报 2000年02期
24.肖熙 王秀勇 “桶型基础结构与土壤相互作用的有限元无限元接触元耦合线性分析” 海洋工程 2001年03期
25.王秀勇 王泉 张亭健 “有限元无限元接触单元耦合法在桶形基础结构与土壤相互作用分析中的应用” 黄渤海海洋 2000年04期
26.Bille J P, Cescotto S. “Numerical Approach of Contact Using An Augmented Lagrangian Method” Contact Mechanics Plenum Press, New York: 1995, 243～246
27.贺东哲 王元清 李少甫 “管结点承载力的非线性有限元分析”[J]
工程力学，2000，17（4）：50～55
28.钟承奎 王碧祥 “无限维线性系统的有限维接触元” 兰州大学学报 1994年02期
29.刘国明 “连杆接触单元非线性模型及其工程应用” 福州大学学报（自然科学版） 1997年06期
30.吴厚钰 郑润生 向松 “接触问题有限元法及其在汽轮机强度设计中的应用” 西安交通大学学报 1990，20，（5）：79～87
31.徐斌 王大通 高大钊 “群桩沉降验算中接触单元模型及其应用的若干问题”同济大学学报 （自然科学版） 1998年02期
32.黄文华 杨林德 叶为民 “板─土三维等厚接触单元模型及其应用”同济大学学报 （自然科学版） 1999年03期
33.陈开旭 安关峰 鲁亮 “采用有厚度接触单元对桩基沉降的研究” 岩土力学 2000年01期
34.王勖成 邵敏编著《有限单元法基本原理和数值方法》（第二版） 清华大学出版社
35.谭建国编著《使用ANSYS6.0进行有限元分析》 北京大学出版社
36.Zhu Changming “A finite element-mathematical
programming method for elastoplastic contact
problems with friction” Finite elements in
Analysis and Design 1995(20): 273～282
37.Xiaoyu,J.; “Frictional contact analysis of composite materials” Composite Science and Technology Volume:54, Issue:4, 1995, pp.341～348
38.夸克工作室编著《精通Solidworks》 中国青年出版社
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